三角函数与平面向量经典题突破

■河南省平舆县第一高级中学 张灵敏

三角函数和平面向量都是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。三角函数与解三角形结合是高考考查的热点问题，基本每年必考。一般考查三角函数定义、诱导公式、正弦定理、余弦定理及三角恒等变形能力；平面向量主要考查平面向量加减法、平面向量共线定理、平面向量基本定理、平面向量数量积。

典例1(2019年高考全国Ⅰ卷理)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。

(1)求A；

分析：(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得b2+c2-a2=b c，从而可整理出cosA，根据A∈(0，π)可求得结果；(2)由正弦定理可得，然后利用sinB=sin(A+C)、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程即可求得结果。

解：(1)因为(sinB-sinC)2=sin2B-2 sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC，所以sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，由正弦定理可得b2+c2-a2=b c。

(2)方法一：因为2a+b=2c，由正弦定理得

方法二：因为 2a+b=2c，由正弦定理得2 sinA+sinB=2 sinC。

点评：本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系。

典例2(2019年高考全国Ⅲ卷理)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围。

解析：(1)由题设及正弦定理得sinA·

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△A B C由正弦定理得由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°，由(1)知A+C=120°，所以30°＜C＜90°，故，从而

因此，△ABC面积的取值范围是

点评：本题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用(此题也可以用余弦定理求解)，最后考查△ABC是锐角三角形这个条件的利用，考查得很全面，是一道很好的考题。

典例3(2019年高考江苏卷)如图1，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥A B(A B是圆O的直径)。规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、Q A。规划要求：线段PB、Q A上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径。已知点A、B到直线l的距离分别为A C和BD(C、D为垂足)，测得A B=10，A C=6，BD=12(单位：百米)。

(1)若道路PB与桥A B垂直，求道路PB的长。

(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由。

图1

(3)在规划要求下，若道路PB和Q A的长度均为d(单位：百米)。求：当d最小时，P、Q两点间的距离。

解析：(1)如图2，过A作A E⊥BD，垂足为E。

图2

由已知条件得，四边形A C D E为矩形，D E=B E=A C=6，A E=C D=8。

因为PB⊥A B，所以cos∠PBD=，所以，所以∠B A D为锐角。所以线段A D上存在到点O的距离小于圆O的半径的点。因此，Q选在D处也不满足规划要求。

综上，P和Q均不能选在D处。

(3)先讨论点P的位置。

当∠O B P＜90°时，线段PB上存在到点O的距离小于圆O的半径的点，点P不符合规划要求；

当∠O B P≥90°时，对线段PB上任意一点F，O F≥O B，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求。

设P1为l上一点，且P1B⊥A B，由(1)知，P1B=15，此时P1D=P1Bsin∠P1BD=

因此道路PB的长为15(百米)。

(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段B E上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求。

②若Q在D处，连接A D，由(1)知A D，从而 cos∠B A D=；当∠O B P＞90°时，在△P P1B中，PB＞P1B=15。由上可知，d≥15。

再讨论点Q的位置。由(2)知，要使得Q A≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求。当Q A=15时，C Q=此时，线段Q A上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径。

综上，当PB⊥A B，点Q位于点C右侧，且时，d最小，此时P，Q两点间的距离

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为(百米)。

点评：本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查同学们的直观想象和数学建模能力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力。

图3

典例4(2019年高考江苏卷12)如图3，在△ABC中，D是B C的中点，E在边A B上，B E=2E A，A D与C E交于点O。若的值是

分析：由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值。

图4

解：如图4，过点D作D F∥C E，交A B于点F，由B E=2E A，D为B C的中点，知B F=F E=E A，A O=O D。

点评：本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养。采取几何法，利用数形结合和方程思想解题。

归纳总结：解三角形和平面向量是近些年高考的热点，各省市的命题人在命题方向上标新立异，我们从不同的数学思想角度对解三角形和平面向量问题进行剖析。

角度一：转化与化归思想

转化与化归思想在研究、解决数学问题中，当思维受阻时考虑寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式。利用正、余弦定理，通过“边化角、角化边、切化弦”等角度对问题进行转化，转化为熟悉的三角恒等变换、三角函数、平面向量等问题，再进行求解。

角度二：函数与方程思想

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时，还可通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

角度三：数形结合思想

数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来，也是将抽象思维与形象思维有机地结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题形象化，有助于把握数学问题的本质。它是数学的规律性与灵活性的有机结合。