平行与垂直关系高考主观题的规范答题

平行与垂直关系主观题在高考中出现于文科卷中,一般设置二到三问,既有平行关系也有垂直关系,所用到的解答工具就是平行与垂直的性质与判定定理。如果是证明线线垂直,那就需要用转换思想,即把线线垂直转换为线面垂直来证；若是证明线面平行,也可以用转换思想来证,即把线面平行转换为面面平行来证。2016年山东省文科数学高考题的第18题就是一道证明平行与垂直关系的主观题,并且突出了证明线线垂直、线面平行的转换思想。那么,在明确了证明思路后,如何做到完美答题、一分不丢呢?这就要看同学们规范答题的能力了。

图1

例题(2016年·山东文18)在如图1所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥BD。

(1)已知AB=BC,AE=EC,求证：AC⊥FB；

(2)已知G,H分别是EC和FB的中点,求证：GH∥平面ABC。

【审题流程】(1)切入点：把证明线线垂直AC⊥FB转化为证明线面垂直,即证明直线AC垂直于FB所在的平面。

关注点：利用EF∥BD确定平面。

(2)切入点：把证明线面平行GH∥平面ABC转化为证明面面平行,即证明包含直线GH的平面与平面ABC平行。

关注点：取FC的中点为I,连接GI,HI确定平面GHI,而平面GHI包含直线GH。

证明：(1)根据EF∥BD,知EF与BD确定一个平面,连接DE。………2分

由题设条件AB=BC,AE=EC,得到DE⊥AC,BD⊥AC。………4分

从而由线面垂直判定定理可得AC⊥平面BDEF,证得AC⊥FB。………6分

(2)如图2所示,设FC的中点为I,连接GI,HI,确定平面GHI。………7分

在三角形△CEF中,G是CE的中点,所以GI∥EF。又EF∥BD,所以GI∥BD。在三角形△CFB中,H是FB的中点,所以HI∥BC。………10分

图2

又GI∩HI=I,所以平面GHI∥平面ABC。因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC。………12分

【答题流程】第一步,明确题意。分析题设条件,充分挖掘题设中所给的平行与垂直关系。第二步,落实答题方向。明确解答问题的方向,正确选择证明平行或垂直的方法,比如对该题的第1问把证明线线垂直转化为证明线面垂直；对该题的第2问把证明线面平行转化为证明面面平行。这两种证明途径都是我们证明空间中线线垂直与线面平行的重要手段与思路。同时,证明过程必要时注意添加辅助线。第三步,写出证明：利用平行垂直关系的判定或性质给出问题的证明过程。第四步,反思回顾。查看关键点、易漏点、检查使用定理时定理成立的条件是否遗漏,符号表达是否准确。

【阅卷提示】阅卷速度以秒计,规范答题少丢分!高考阅卷是按步骤、按得分点给分的,题目的评分标准制定得非常细,评阅是分步骤,踩“点”给分的。对于关键的步骤,关键的得分点,有则给分,无则没分。所以同学们在解答问题时,一定要规范答题,做到解答过程清楚明了。