特殊化是解函数方程的思维主线

现行人教版教材高中《数学》必修1中有道这样的试题：已知f(x)=3x,求证：(1)f(x)·f(y)=f(x+y)；(2)f(x)÷f(y)=f(x-y)。这道试题是让验证f(x)是指定函数方程的解。那么,什么是函数方程?如何解函数方程呢?所谓函数方程就是含有未知函数的等式,使函数方程成立的函数叫函数方程的解,求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程。函数方程是一个有趣的数学问题,它不存在一般性解法,特殊解法往往带有抽象性、灵活性、技巧性和创造性,因此函数方程一直走红于自主招生题和竞赛题。

要从一元、二元或者多元函数方程中解出一元函数解,就必须设法把多元函数方程化归为一元函数方程,即对已知函数方程特殊化、具体化、明显化和简单化是解函数方程的思维主线。特殊化需要通过代换、减元、化归来实现。代换法是解函数方程的共性思想方法,是解函数方程的关键点、着力点和聚力点,根据代换对象、方法、技巧和侧重点的不同,代换法又分为多种特殊解法。

1.待定系数法,用设定的函数式代换未知函数,把函数方程变为代数方程或方程组求待定系数。

例1若f(x)为多项式函数,且f(x+1)+f[f(x-1)]=2x+3,求f(x)。

解：由已知可设f(x)=ax+b,则f(x+1)+f[f(x-1)]=a(x+1)+b+a[a(x-1)+b]+b=(a+a2)x+a-a2+ab+2b=2x+3,所以得a=b=1。所以f(x)=x+1。

2.赋值法,即用适当的数代换函数方程中的变量。我们常常通过赋值法把函数方程变为代数方程求指定的函数值。

例2已知f(x)是定义在R上的不恒为零的偶函数,且xf(x+1)=(x+1)f(x),则

解：令得因为f(x)是偶函数,所以得令x=得,所以令得所以令x=0,得f(0)=0。于是

3.代换法,是解函数方程最重要的方法,用新变量代换函数方程中的原变量。

例3若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数,且方程x-f[g(x)]=0有实数解,则g[f(x)]不可能是()。

解：设x0满足x0-f[g(x0)]=0,即f[g(x0)]=x0。令g(x0)=y0,则f(y0)=x0,所以g[f(y0)]=g(x0)=y0,这说明方程g[f(x)]-x=0至少有一个实根y0。对选项B,当时,方程无实根,故选B。

用取正整数的变量n代换函数方程中的某些变量,把函数方程变为递推公式,求出通项公式即得所求函数的方法,通常称为递推法。例如,已知f(x)满足f(1)≠0,且f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2+xy,求f(x),x∈N*。