基于遗传算法的SABR模型对上证50ETF期权隐含波动率拟合优化的实证研究

陈瑞华 曹柏杨

摘要：作为风险管理和财富管理的重要衍生工具，上证50ETF期权合约自2015年上市以来，已经成为全球流动性最好的期权品种之一，学术界对于其定价理论及其波动率的研究也在日益深入。本文主要研究上证50ETF期权隐含波动率的拟合问题，从SABR随机波动率模型出发，在剔除BorrowRate对于期权隐含波动率的影响后，对上证50ETF期权波动率进行实证分析。同时，为提升SABR模型在参数优化方面的效率与稳定性，本文引入了遗传算法对参数进行优化。实证结果表明，SABR模型可以对当前上证50ETF期权隐含波动率进行有效的拟合与估计，但对于深度实值期权与深度虚值期权而言，SABR模型的误差仍有待进一步优化。

关键词：上证50ETF期权 隐含波动率 SABR模型 遗传算法

一、研究背景

2015年2月9日，我国首只场内期权品种——上证50ETF期权在上海证券交易所上市交易，开启了我国资本市场的“期权”之门，也为我国资本市场的稳健发展奠定了坚实基础。目前，上证50ETF期权已发展成为全球流动性最好的期权品种之一。图1显示了自上市日起至2019年6月30日上证50ETF期权合约日成交量的变化情况。从交易统计数据看，2015年上证50ETF期权合约日均成交量为10. 63万张，2019年日均成交量达到246.80万张，日均成交量增长了23.21倍。

上证50ETF期权交易的日渐活跃带来了期权市场的全面繁荣发展。2017年以来，我国先后上市了豆粕、白糖、铜、天然橡胶、棉花和玉米期权，迎来了商品期权的百花齐放时代，股指期权、利率期权和更多的商品期权也在酝酿推出。随着我国衍生品工具运用和市场运行的日益完善，期权在规避市场风险，促进市场稳定方面的作用日益重要，已成为不可或缺的风险管理和财富管理工具。因此，深化对期权理论和应用的研究十分必要。

期权的定价与对冲一直以来都是期权研究的核心问题。目前，市场上主流的期权定价模型是基于偏微分方程的Black - Scholes - Merton模型（1973）和动态规划的二叉树模型（1979）。B-S-M模型假设价格是服从几何布朗运动的，但在现实的期权市场交易中，B-S-M模型所假设的标的资产价格服从对数正态分布及波动率为常数的这一条件与经验事实并不相符，模型不能解释“波动率微笑”和“杠杆效应”，导致期权理论定价与真实市场交易价格存在一定的偏差。相对B-S-M模型而言，二叉树模型可以针对不同类型的期权定价，尤其适用于特殊期权的定价，但该模型的预测值与期权市场的真实价格相比误差也很大，并且模型的拟合速度随模型预测期数增加而下降。

针对B-S-M模型和二叉樹模型的缺陷，为了提高模型预测的精确性和拟合速度，理论界对B-S-M模型波动率为常数这一假设进行了扩展，并用控制变量的方法，增加时间变量，将期权价格看作是时间的函数，提出了随机波动率（SV）模型和随机波动跳跃（SVJ）模型，得以估计预测隐含波动率。定价参数的改进提高了假设条件与期权市场实际定价的吻合程度，进而提高了模型预测结果的可靠性。

值得指出的是，理论界对期权定价模型的深入研究是与期权市场的不断发展完善同步的，尤其是关于期权定价的实证研究。Hull和White（1987，1988）、Heston（1993）首先提出了随机波动率期权定价模型。随后出现了许多在不同分布假设下对欧式期权定价的研究。Corrado和Su（1998）通过对SP500指数期权的实证研究，对随机波动率期权定价模型的参数进行了估算和预测，揭示了随机波动率期权定价模型的实际应用价值。Saurabha和Tiwari（2007）则引入偏度和峰度两个统计变量，使用波动率估计深度货币期权和深度价外期权的价格，得出了更接近期权市场价格的预测结果。

SABR模型（2002）是由Hagan提出的一种随机波动率期权定价模型，其假设隐含波动率符合几何布朗运动，并将隐含波动率设定为标的资产价格和合约行权价格的函数，同时将随机波动率模型与局部波动率模型相结合，可以更加准确地动态刻画市场隐含波动率曲线。SABR模型由于结构相对简单，具有解析解形式，并且对于波动率风险能够进行一致度量，因此成为被广泛应用的随机波动率模型。

本文从SABR模型出发，在剔除Borrow Rate对于期权隐含波动率的影响后，对上证50ETF期权波动率进行实证分析，探讨上证50ETF期权隐含波动率的拟合问题。同时，为提升SABR模型在参数优化方面的效率与稳定性，还引入了遗传算法对参数进行优化。

二、SABR模型及其参数估计

（一）SABR模型

SABR模型扩展了原始的B-S-M模型中关于波动率为恒定常数的假设条件，假设期权的隐含波动率同样服从几何布朗运动，假设隐含波动率是关于标的资产价格和期权合约行权价格的函数，同时假设标的资产远期价格F及其波动率α均为随机过程，且两个随机过程之间具有相关系数ρ。

其中，因子F与Aα是随机的，参数β，ν，ρ为常数。参数ν表示波动率的聚集状态，可以看作是波动率的波动率;参数β∈[0，1]决定标的资产远期价格与平值期权隐含波动率之间的关系：如果β≈1，就表明在市场价格正常波动情况下，平值期权的隐含波动率影响不显著;如果β《1，则说明平值期权隐含波动率和市场价格运动方向相反，尤其在β趋近于0时，这种现象就更加明显。此外，对于该模型而言，当β趋近于1时，该随机模型接近对数正态分布，当趋近于0时，该随机模型接近正态分布。

需要注意的是，对上述目标函数进行优化的过程中，不同的优化方法对于优化结果均有一定的影响。本文通过使用遗传算法对参数ν，ρ进行优化。

（三）遗传算法

遗传算法借鉴了生物界自然选择和自然遗传的机制，是一种高效、并行、全局搜索的随机搜索算法。遗传算法与传统算法之间的区别在于，大多数经典优化算法都是基于单一的度量函数的梯度或高阶统计来生成确定性的试验解序列;遗传算法则是通过模拟自然演化过程来搜索最优解，而不需要依赖梯度信息。遗传算法能在搜索过程中自动获取和积累有关搜索空间的知识，并能自适应地控制搜索过程以求得最优解。借助遗传算法对SABR模型中的目标函数进行参数优化，是一种具有更高优化效率的参数估计方法。