结构光三维测量非线性相位误差主动校正法

孙 进，马煜中，杨 晗，朱兴龙，习俊通

(1.扬州大学机械工程学院，江苏扬州 225100；2.上海交通大学，机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240)

0 引言

相移轮廓术是一种非接触式、全场测量的光学三维数字成像与测量方法。该方法采用投影-采集装置获取一组经物体表面面形调制的条纹序列图，结合相移算法计算有效测量点的相位，该相位即用于计算物体的三维表面信息。相移轮廓术由于其高成像密度、高成像速度、高测量精度和高测量普适性等特点而得到广泛应用[1-3]。由于获取数字化投影-采集信号的过程中存在输入与输出之间的非线性强度响应的问题，例如将余弦输入信号响应为非余弦输出信号，从而引入相位测量误差，并最终影响三维重建的精度。上述非线性强度响应一般性的被称为gamma效应[4]。为了减小gamma效应引入的测量误差，现有技术提出了一些相位误差补偿或gamma校正的方法，主要分为主动校正法和被动校正法[5-6]。

主动校正法通过改变投影仪的输出条纹灰度值直接校准投影仪。HOANG[7]等提出一种标定得到的gamma系数的预编码的方法，通过对计算机产生的用于投影的余弦光栅进行预编码，经过预编码调制后的光栅图像用于相移法测量物体表面，不需要进行相位补偿，即可取得较高的精度。该方法首先要计算出余弦光栅所需的预编码值，需要复杂的运算，且如果输出条纹不满足gamma模型时则不适用。另外可以增大相移步数，由HOANG[7]和PAN[8]的理论可知，相移步数足够大时(步数>10)，相位误差极小可以忽略不计，但是增加相移步数意味着测量时间的增加，降低了系统的灵活性。

相反，被动误差补偿方法不修改投影仪的输入条纹图案，而是从校准的gamma曲线确定相位误差，然后补偿相位域中的相位误差[6]。李中伟[9]采用查表法将预先计算出的相位误差存储在一个查找表里，在测量时用于相位误差补偿，由于误差直接从真实数据获得，不需要假设特定的非线性模型。因此，它可以应用于任何非线性测量系统，包括gamma模型。但需要对查找表256个灰度值的相位进行一一标定，非常耗时。周平[10]利用数学方法直接处理伽马非线性，考虑最高八次谐波分量的相位误差，用于补偿，并且考虑了不同环境光的影响。CHEN[11]提出基于平滑样条插值的方法，许伟[12]等采用二次多项式最小二乘拟合法近似输出条纹光强分布，实现了包裹相位波动误差的补偿，减小了投影仪非线性导致的系统测量误差，然而这些方法增加了求解相位的计算量且只针对特定步数的相移测量。

本文提出一种投影仪gamma畸变主动校正法，该方法只需要在测量系统标定时采集1组灰度图案，就可以通过图像处理及数学分析拟合输入光强和输出光强的关系。优点在于利用较少投影图片进行校准，直接改变投影的光栅图像，达到主动校正的目的，本方法的实现更为简单快速，相比于被动误差补偿方法，不增加解包运算计算量且适用于各种步数的相移测量，相比于已有的投影光栅预编码的主动gamma校正技术，所提方法不局限于gamma模型，提高了其灵活性，同时该方法不依赖于相机、投影仪具体参数，具有很好的通用性。

1 算法原理

1.1 光栅投影相移算法

在相移结构光测量中，由计算机产生竖直余弦分布光栅图案并经投影仪投射至被测物体表面，光栅条纹光强分布沿水平方向可表示为

In=Ia+Ibcos(φ+2nπ/N)

(1)

式中：I为光强即灰度值，下同；In为第n幅光栅图案投射的光强分布(n=1,2,…,N)；N为相移步数；Ia为背景光强；Ib为自定义常数；φ为相位值，rad。

此时物面上的相位分布可由下式计算获取：

(2)

特别地，对于四步相移，相位每次移动的增量为π/2，产生的4幅光栅条纹图案可表示为

Iq=Ia+Ibcos(φ+qπ/2),q=1,2,3,4

(3)

则可解得包裹相位理论值：

(4)

进一步还需采取一定的解包裹方法以消除相位的跳跃。

1.2 Gamma畸变模型

在商业视频投影仪中，gamma调制是表示输入灰度值与输出灰度值之间关系的灰度曲线，是人为有目的失真，以便获得最佳的人眼视觉效果。该效应称为gamma效应，虽然迎合了人眼的反映但对于科学测量是不利的。

进行相移法测量时，在理想情况下(无gamma畸变)，输出的条纹分布满足f(In)=In。

实际测量中，当信号通过带有gamma非线性误差的系统时，产生系统误差，此时输出条纹分布可由下式表示：f(In)=[In]γ。

图1显示了gamma调制对相位测量的影响，其中强度值已由灰度值0～255归化为0～1，图1(a)为经伽马非线性调制后输出带失真的非余弦信号，其中虚线表示当γ=3.2时的输出，实线表示标准余弦输入信号；图1(b)为采用四步相移的方法解得包裹相位由余弦信号解得的理想相位与非余弦信号解得的实际相位，其中虚线为理想相位，实线为实际相位；图1(c)为采用四步相移时产生的相位误差。

1.3 Gamma非线性主动校正方法

在实际投射光栅图像时，鉴于系统的复杂性，除了有gamma畸变的影响，还有环境光源的干扰、镜头的影响等其他干扰，在此选择利用多项式来近似则可以解决此问题。可假设输出为

(5)

式中：Iout为输出光强；Iin为输入光强。

(a)光强畸变

(b)相位畸变

(c)相位误差图1 gamma调制的影响

由此得出输出光强对输入光强的响应，进一步求得f的反函数f-1，然后将f-1作用于输入Iin进行光栅的投射。最后得到的结果即为Iout=f(f-1(Iin))=Iin。

但是以上的方法有一个问题，就是在求反函数的时候会发现f的反函数f-1不唯一，在进一步运算的时候会出现错误。

于是对上述方法进行改进，使用逆向思维，即假设输入Iin是由输出Iout经过一种变化得到的，这里假设表达式为

(6)

于是自然可知Iout=f-1(Iin)。

通过实验拟合若干点得到Iin=f(Iout)的表达式，然后将f作用于输入Iin，即为f(Iin)，最后得到的结果即为Iout=f-1(f(Iin))=Iin。

使用这种方法不仅简化了步骤，而且防止了在求反函数时可能出现的错误。

(7)

写成矩阵形式为

(8)

这是一个矛盾方程组，可由最小二乘法原理求得最优解a、b、c、d、e的值。

2 实验验证

2.1 计算机仿真

为了验证本误差补偿方法的有效性，首先，使用计算机对该gamma校正方法进行仿真，并分析其相位分布以对本文提出的测量系统gamma校正方法进行定量评估。使用计算机编程产生标准余弦四步相移图像[(图2(a))]以及经过gamma调制的相移图像[(图2(b)，gamma系数为3.2)]。然后使用本文方法对gamma调制的图像进行校正，得到校正后的相移图像[(图2(c)]，进一步进行相位求解，其结果如图2(e)所示。接着进行相位求解得到校正前后的相位误差，图2(f)为图像中间某一像素行进行gamma校正前后相位与其理想相位间的偏差分布。由图2(f)可知，经测量系统gamma畸变校正后，被测平面的相位偏差最大值可从0.08 rad减少至0.008 rad，获得了90%的改进。

(a)标准余弦条纹

(b)gamma调制条纹

(c)gamma校正条纹

(d)gamma调制强度分布

(e)校正后强度分布

(f)校正前与校正后的相位误差

2.2 实际测量

搭建了如图3所示的结构光测量系统进行实验，该系统包含一个投影仪和一个工业相机，投影仪型号为LG PB66G-JE，其分辨率为1 360 pixel×768 pixel，工业相机为Basler acA1300-30gm，其分辨率1 296 pixel×966 pixel。使用该系统对标准平板进行测量，投影方案采用四步相移的方法，在测量过程中，参考平面与投影仪光心的距离约为220 cm，投影的测量范围约为150 cm× 150 cm。

图3 结构光测量装置

采用上文所述的拟合方法得到参数为a=0.063 82、b=1.505 6、c=1.111 6、d=-0.468 17、e=1.797 5，进而得到函数的表达式为

图4 采集到的灰度图像

然后将该表达式应用于输入光栅表达式即可。

利用该系统对真实物体进行测量，首先对一平面进行测量，取校正前后的其中一幅相移图像如图5所示。其中被测平面理想相位由未进行补偿的被测平面测量相位经拟合获得。取某一行的误差如图6所示。可见用本文方法进行误差补偿后的模型比补偿前相比误差更小，更为光顺，测量精度更高。

(a)校正前 (b)校正后图5 校正前与校正后的的其中一幅相移图像

图6 实际平面测量误差对比

上述2组实验结果表明，该gamma校正方法可以显著降低结构光测量系统的相位波动误差，提高其测量精度。

3 结论

本文在分析gamma非线性对包裹相位误差影响的基础上，使用了一种主动的gamma校正技术，极大地削弱了gamma失真现象带来的影响，提高了测量精度。通过投影8幅设计好的均匀强度的灰度图像，对拍摄得到的灰度图像进行运算求解，拟合输入光强与输出光强的关系，得到合适的模型，将该模型反作用于输入光栅代替原来的余弦条纹进行投影。验证得到，在计算机仿真测量中，经过gamma校正后的相移算法的相位误差要远低于校正之前，提高了90%的测量精度，最终将经过gamma校正后的光栅图像用于实际测量，即可取得良好的测量效果。与现有的被动相位补偿算法相比不需要计算每个相位的误差且不局限于特定的相移步数及解包裹方法，简单且有效；与已有的基于投影光栅预编码的主动gamma校正技术相比，所提方法不局限于gamma模型，提高了其灵活性。