例谈转化与化归思想在数学中的应用

【摘 要】结合实例分析说明几种常见的转化与化归思想在数学解题中的应用。转化与化归思想是数学中五大思想之一。所谓转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法[1]。更具体地说，就是将一个待解决的问题或者是一个复杂的问题通过转化或再转化，使之化归为一个已经解决或者是一个简单的问题。下面结合实例分析说明常见的几种转化与化归的思想在数学中的应用。

【关键词】转化与化归;应用;实例

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）22-0089-02

1   化无理式为有理式

例1  解方程

分析：这是一个含根式的对数方程，直接求解很有难度，我们可以通过转化与化归的思想将它化为一个有理方程，然后再去求解就简单多了。

解：变形设。即x=92y代入原方程得，于是有

即

观察得y=1，又因为是单调递减函数，所以y=1是唯一的根，从而有x=81。

2   化分式为整式

例2.设实数a、b、c互异，且有abc≠0，求解下列关于x，y，z的方程组？

分析：通过观察题目发现这是一个形式上为分式的方程组，直接去分母化简求解很有些复杂，但是这三个方程形式上是相同的，我们可以通过转化与化归进行化三归一，然后利用根与系数关系定理来求解则可以化繁为简。

解：設x，y，z为常量，化三归一为下列方程xt3-yt2+zt-1=0，由已知有该方程有三个不同实数根，分别为

，，于是由韦达定理有，，所以有方程的解为  x=abc，y=ab+bc+ca ，z=a+b+c

3   化代数式为三角式

例3.设有实数x，y，z，且有xy≠-1，yz≠-1，zx≠-1，

求证：

分析：要证明表上面这个分式等式成立，直接去分母难度极大，通过观察，联想到三角函数中的一些公式，我们可以通过将之转化为三角形式来证明将大大简化了其计算量。

证明：因为当A+B+C=kπ，有tanA+tanB+tanC

=tanAtanBtanC成立，

又令A=α-β，B=β-γ，C=γ-α

且设x=tanα，y=tanβ，z=tanγ，则有由于A+B+C=0，所以上式成立，即有tan（α-β）+tan（β-γ）+tan（γ-α）=tan（α-β）tan（β-γ）tan（γ-α），展开三角函数表达式并代入x，y，z，即成立。

4   化代数为几何

例4若，且有，求证：（第26届全苏数学竞

赛题）

分析：这是一个不等式证明题，如果简单地想通过不等式的放缩是很难证明出来的。我们可以通过已知条件联想到构造一个边长为p的等边三角形，将此代数问题转化为几何问题然后运用面积法来求证。

证明：构造一个边长为p的等边三角形ABC，如图1

所示。

图1

因为即有

故有。

5   化无穷为有穷

例5 当n为正整数时，若n，n+6，n+12，n+18，n+24均为质数，求n为多少？

分析：因为质数有无穷多个，这里我们不可能一一列举，我们需要化无穷为有穷，将无穷多个质数转化为有限类进行分析判定。

解：因为n为正整数，我们可以将n分为五类进行讨论，分别为n=5k，5k+1，5k+2，5k+3，5k+4（这里k为整数）。当n=5k+1时，n+24=5k+25=5（k+5）为合数;不满足条件。当n=5k+2时，n+18=5k+20=5（k+4）为合数;不满足条件。当n=5k+3时，n+12=5k+15=5（k+3）为合数;不满足条件。当n=5k+4时，n+6=5k+10=5（k+2）为合数;不满足条件。当n=5k时，要n为质数，所以只有当k=1时，即n=5才行，此时n+6=11，n+12=17，n+18=23，n+24=29，均为质数，所以n=5。

点评：以上结合例题列举了5种常见的转化与化归方法。在平时数学解题中，转化与化归思想贯穿了重点与难点知识的方方面面，学生在平时知识点的学习与掌握中，熟练运用转化与化归思想可以帮助学生在各知识点之间相互渗透与转化，促进重点知识融会贯通[2]。在解题中熟练运用这些方法往往可以起到化繁为简、事半功倍的效果，但是掌握转化与化归思想，需要平时仔细观察题目的已知条件与所求结论，从中找到知识结构的内在联系，日积月累。

【参考文献】

[1]张晓辉.化归思想与例题解析[J].数理化学习（高三版），2015（8）.

[2]张连吉.例谈构造法在高中数学解题中的应用[J].福建中学数学，2017（5）.

【作者简介】

王新（1971～），男，湖北武汉，职称：高级，研究方向：数学教育。