“学霸”错题集之“一元二次方程”篇

毕美秀

一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，也是各地中考中的“常客”。为了让同学们更好地掌握这部分知识，减少解题时的失误，让我们一起来看看“学霸们”整理的错题集吧！

类型1 理解定义不到位，忽略“a≠0”

例1 （2019 ·枣庄）已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是。

【错解】有的同学一看到有两个不相等的实数根，立刻想到b2-4ac>0，于是b2-4ac=22-4·a·（-3）=4+12a>0，解得a>[-13]。

【剖析】题目中虽然没有直接说这是一个一元二次方程，但是从“有两个不相等的实数根”可以判断出它不是一元一次方程。对于形如ax2+bx+c=0的一元二次方程，a≠0很容易被忽视，所以当一元二次方程的二次项系数含有字母时，一定要考虑其值不能为0。

【正解】因为有两个不相等的实数根，所以b2-4ac>0，即a>[-13]，又因为a≠0，所以a的取值范围是a>[-13]且a≠0。

例2 若关于x的方程（m-1）xm2+1-4x+1=0是一元二次方程，则m的值为。

【错解】因为是一元二次方程，所以含有x的项的最高次数应该是2，即m2+1=2，解得m=±1。

【剖析】二次项系数是m-1，当m=1时，m-1=0，即此方程变成一元一次方程-4x+1=0，显然不符合题意，所以m=1应舍去。

【正解】根据题意得m2+1=2，解得m=±1，又因为m-1≠0，即m≠1，所以m的值为-1。

类型2 求未知系数值，忽略“b2-4ac≥0”

例3 关于x的一元二次方程x2+（a2-2a）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）。

A.2B.0

C.2或0 D.1

【错解】设方程的两个实数根分别为x1，x2，根据题意有x1+x2=0，因为x1+x2=-（a2-2a）=0，解得a=2或0，所以选C。

【剖析】上述解答中只考虑到两个实数根互为相反数这一条件，却忽视了实数根是否存在。实际上当a=2时，原方程为x2+1=0，其没有实数根，应舍去。所以利用根与系数关系求值后，需要将值代回原方程中验证方程是否有实数根，或者代入判别式b2-4ac计算，确认是否满足“b2-4ac≥0”。

【正解】因为两个实数根互为相反数，设方程的两个实数根分别为x1，x2，则有x1+x2=0。根据根与系数的关系，x1+x2=-（a2+2a）=0，解得a=2或0。

当a=2时，原方程为x2+1=0，x2=-1<0或者判别式=-4<0，原方程没有实数根，所以a=2应舍去;

当a=0时，原方程为x2-1=0，解得x=±1，两个实数根互为相反数，符合题意。

所以正确答案应为B。

类型3 方程步骤不明晰，忽略条件而丢根

例4 解下列方程：

（1）（x-1）2=9;（2）（2x+3）2=（3x-2）2。

【错解】（1）x-1=3，x=4;

（2）2x+3=3x-2，x=5。

【剖析】形如x2=a（a≥0）的一元二次方程可以使用直接开平方法计算，但是根据平方根的定义，x=[±a]而不是x=[a]。

【正解】（1）x-1=±3，x-1=3或x-1=-3，即x1=4，x2=-2;

（2）2x+3=±（3x-2），2x+3=3x-2或2x+3=-（3x-2），即x1=5，x2=[-15]。

例5 （2019 ·扬州）一元二次方程x（x-2）=x-2的根是。

【错解】两边同时除以（x-2），得x=1。

【剖析】因为（x-2）是含有未知数的式子，有可能為0，而等式的性质2中明确说明“等号两边同时乘或除以一个不为0的数，等式依然成立”。所以这道题是不能利用两边同时除以（x-2）来求解的，这样会丢根。

【正解】移项得x（x-2）-（x-2）=0，提公因式得（x-1）（x-2）=0，x-1=0或x-2=0，解得x1=1，x2=2。

类型4 实际意义理解不到位，求解忘取舍

例6 在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=[5]，两条直角边长分别为关于x的方程x2-（m+1）x+m=0的两个实数根，求m的值。

【错解】解方程x2-（m+1）x+m=0，得x1=m，x2=1，即Rt△ABC的两条直角边长分别为m，1。又知斜边c=[5]，由勾股定理，得m2+1=（[5]）2，解得m=±2。

【剖析】由题意可知x1=m，是直角三角形的直角边长，应是正数，所以m=-2不合题意，应舍去。

【正解】解方程x2-（m+1）x+m=0，得x1=m，x2=1，即Rt△ABC的两条直角边长分别为m，1。又知斜边c=[5]，由勾股定理，得m2+1=（[5]）2，解得m=±2。当m=-2时不合题意，舍去，所以m的值是2。

例7 某商店进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件;如果按每件再提价5元出售，其销售量就减少100件。如果商店销售这批服装要获得利润12000元，同时要使顾客得到实惠，那么这种服装售价应定为多少元？该商店应进这种服装多少件？

【错解】设这种服装售价应定为x元，由题意得（x-50）[800-[1005]（x-60）]=12000，整理得x2-150x+5600=0。解这个方程，得x1=70，x2=80。当x=70时，800-[1005]·（70-60）=600;当x=80时，800-[1005]·（80-60）=400。

答：每件服装售价为70元时，该商店应进这种服装600件;每件服装的售价为80元时，该商店应进这种服装400件。

【剖析】利润问题离不开公式：总利润=单件利润×件数。该题除了考虑“如果按每件再提价5元出售，其销售量就减少100件”转化为每提价1元，平均每天少售出[1005]件，还要关注“使顾客得到实惠”。上述解法中因为漏看了“同时要使顾客得到实惠”这个条件而没有对两个解进行取舍。

【正解】设这种服装售价应定为x元，由题意得：（x-50）[800-[1005]（x-60）]=12000，整理得x2-150x+5600=0。解这个方程，得x1=70，x2=80。当x=70时，800-[1005]·（70-60）=600;当x=80时，800-[1005]·（80-60）=400。

因为商店要使顾客得到实惠，所以售价每件80元不合题意，应舍去。

答：每件服装售价应定为70元，此时该商店应进这种服装600件。

（作者单位：江苏省南京市中华中学初中部）