加强模型理解 提升解题能力

文杨春霞

从数学内部来看，由一元一次方程到一元二次方程是知识发展过程中必然要出现的代数式关系；从数学外部来看，一元二次方程是刻画现实世界，解决实际问题的有效模型。近年来，各地中考围绕这一核心知识点呈现多种考题形式，下面就从“方程概念”“计算技能”“模型应用”三个方面作简要分析。

一、立足“方程概念”，考查知识理解

一般常考题会借助对一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的认识，考查对“样子+条件”定义形式的本质理解。这样的理解也不是独立考查，往往还和方程的根、根与系数关系、根的情况判别相结合。

例1（1）（2016·泰州）方程2x-4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为_______。

（2）（2016·聊城）如果关于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_______。

第（1）小题借助一元一次方程的解来求一元二次方程中的未知系数m的值，考查了方程解的概念，即方程的解代入方程能使得方程等式成立，故易得m的值为-3。第（2）小题以方程根的情况来考查未知系数k的取值范围，一方面要理解根的情况由“两个不相等的实数根”得到b2-4ac＞0，继而得到在这个不等式下k的第一个取值范围k＞；另一方面要兼顾到一元二次方程中二次项系数k的条件限制，即k≠0。综合来看k的取值范围为k＞且k≠0。

二、关注“计算技能”，考查运算能力

求一元二次方程的解体现着运算能力的水平，这是解决实际问题的需要，其解法也关联到二次函数等相关知识。因此对计算技能方面的考查，一般有独立考查解方程以及方程解法，或是结合应用模型解决问题进行考查。

例2（1）（2016·新疆改编）一元二次方程x2-6x-5=0配方可变形为________。

（2）（2014·聊城改编）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为_______。

这两道题原题出自不同地区，但都以选择题形式考查一元二次方程解法中的配方法，凸显了配方法在知识系统中的重要作用。这里改编为填空题，去掉干扰选择支，直接考查配方法的关键步骤。第（1）题给的是具体数值，因此较为容易地得到变形后为（x-3）2=14；第（2）题是一元二次方程的一般形式，一般化地体现对配方法的本质理解，字母系数参与运算，增加了运算难度，但只要按照配方法步骤，依然可以得

例3 （1）（2013·河南）方程（x-2）（x+3）=0的解是（ ）。

A.x=2 B.x=-3

C.x1=-2，x2=3 D.x1=2，x2=-3

（2）（2016·兰州）解方程：2y2+4y=y+2。

例3的两题重在对解法和求解过程的考查。第（1）题体现分解因式求一元二次方程解的关键形式，即要形成ab=0的结构，故选D；第（2）题单独考查一元二次方程的解法，由于所给形式非一般形式的结构，所以我们要先进行转化，变成一般形式，再根据方程的特点，恰当选择方法。具体解题过程如下：

解：2y2+4y=y+2，

2y2+3y-2=0，

（2y-1）（y+2）=0，

2y-1=0或y+2=0，

三、重视“模型应用”，考查问题解决

方程的价值体现在对外部世界的认识上，也就是建构模型。因此多年来，建立一元二次方程模型考查问题已经是常规题型，但因为涉及实际问题内容较广，一般会结合具体背景考查，如：“行程”“工程”“增长率”“销售”等。也因其模型和函数模型建立的内在联系是一致的，即寻找相等的数量关系，因此也可以结合二次函数的应用渗透对方程模型应用的考查。

例4 （2019·徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm，在其四角各剪去一个同样的正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一个无盖长方体盒子。当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的底面积为200cm2？

本题需要我们理解长方体的底面长、宽与正方形边长之间的一次关系，以及底面积与长和宽之间的关系，进而认识到所有模型均可归一为“a+b”型、“a×b”型以及在此基础上的模型嵌套，从而感受到数式模型、数式关系模型是刻画现实世界的有效模型。解答如下：

解：设剪去小正方形的边长为xcm，

则根据题意，有（30-2x）·（20-2x）=200。

解得x1=5，x2=20。

当x=20时，20-2x＜0，所以x=5。

答：当剪去正方形的边长为5cm时，所得长方体盒子的底面积为200cm2。