多环链的Hosoya多项式

马丽 苏苗苗 苗芸

摘要：本文主要给出三种特殊的螺旋六角链和三种特殊的多联苯链的Hosoya多项式的递推公式，解析表达式以及与其相关的拓扑指标的结果.

关键词：Hosoya 多项式；螺旋六角链；多联苯链

1 绪论

1988年，Hosoya在其开创性论文[1]中首次提及到一个图的Hosoya多项式，也被称作“Wiener多项式”。之后，渐渐地得到了许多研究者的大量关注。当然某些研究者，如Sagan，Yeh和Zhang[2]继续以原来的名字称呼它，但后来提出的名字“Wiener多项式”被现在的绝大多数的研究者所使用。1998年，E.Estrada等人研究了Hosoya多项式在化学中的应用，体现出Hosoya多项式的主要优点是它包含了有关图形不变距离的丰富的信息。例如，如果知道一个图的Hosoya多项式，便可直接确定一个图的Wiener指标，也就是Hosoya多项式在点x=1的一阶导数的取值。相继地，便可得到图G的HyperWiener指标WW（G）等于x倍的Hosoya多项式对变量x求二阶导数后在x=1点取值的二的阶乘分之一，而图G的TratchStankevitchZefirov 指标TSZ（G）恰等于x2倍的Hosoya多项式对变量x求三阶导数后在x=1点取值的三的阶乘分之一。与迄今为止所提出的有关距离的拓扑指标相比，Hosoya多项式包含着有关图的距离的更丰富的信息。因此，Hosoya多项式和它的一些推导性质在QSPR和QSAR的研究领域中扮演着重要的角色，有着丰富的理论研究和计算方面的成果。

近年来，已有许多各类化学图的Hosoya 多项式的重要结果，如2001年，Dragan 计算了复合图的Hosoya 多项式；2008年，S.Xu 和H.Zhang 分别给出了六角链和苯环链的Hosoya 多项式；2014年，E.Deutsch等人给出了distanceregular图的Hosoya 多项式；2016年，S.Xu 刻畫了随机六角连的Hosoya 多项式。对于其他图类的Hosoya多项式相关结果，读者可以阅读文献。这里我们用了不同于文章的方法考虑了三种特殊螺旋六角链和三种特殊多联苯链的Hosoya 多项式，随后又给出了与其相关的其他指标的确切表达式。

2 主要结果

2.1 预备知识

本文中我们仅考虑简单的、连通的、有限的图。V（G）是图G的点集，E（G）是图G的边集，dG（u，v）代表点集V（G）中两个不同点u和v的最短距离，dG（u）代表点u在图G中的度。

定义2.1.1 螺环化合物是有机化学中一类重要的环烷烃，它仅有六元环（六边形）组成.若每两个六元环（六边形）仅有唯一的点使其连接在一起，则我们称为螺旋六角链。一个包含n个六边形的螺旋六角链可以看作一个螺旋六角链SPCn。

定义2.1.2 多联苯的分子图把其称为多联苯系统。如果多联苯系统的任意一点都在六元环（六边形）上且每个六元环（六边形）缩成一个点所得到的图是一条路，则我们称为多联苯链。一个包含n个六边形的多联苯链可以看作一个多联苯链PPCn。

定义2.1.3 在多环链中的六边形的个数称为该链的长度。

定义2.1.4 图G的Hosoya多项式为H（G）=∑u，vV（G）xdG（u，v）。

定义2.1.5 图G的Wiener指标为

W（G）=12∑nr=1d（vrG）=ddxH（G，x）x=1，

其中d（vrG）是图G中点vr的Wiener数，即d（vrG）=∑ns=1d（vr，vs）。

定义2.1.6 图G的HyperWiener指标为

WW（G）=12W（G）+12∑u，vV（G）d2（u，v）=12！d2dx2xH（G，x）|x=1。

定义2.1.7 图G的TratchStankevitchZefirov指标为

TSZ（G）=13！d3dx3x2H（G，x）x=1。

2.2 特殊螺旋六角链的Hosoya多项式

这部分我们将会给出三种特殊螺旋六角链On，Mn，Pn的Hosoya多项式以及一些简单的结论。

我们用Rn表示所有长度为n的螺旋六角链。设G（n）=B1B2…Bn∈R（n），其中Bk是G（n）中第k个六边形，并且设ck是Bk和Bk+1的螺旋连接点，k=1，2，…，n-1。然而长度为n-1的序列（c1，c2，…，cn-1）被称为G（n）的螺旋点序列。若螺旋连接点ci和螺旋连接点ci+1的距离分别为1，2和3（i=1，2，…，n-1），则分别称G（n）为螺旋ortho链，螺旋meta链，螺旋para链（如图1所示）。所以依次用On，Mn，Pn分别表示长度为n的螺旋ortho链，螺旋meta链，螺旋para链。

若u是G（n）的一个点，那么我们设H（G（n），u）：=∑v∈V（G（n））xdG（n）（u，v）。

引理2.2.1 如果n1，那么有

H（On，cn）=（1+x+2x2+x3）-（2+2x+x2）xn+11-x；

H（Mn，cn）=（1+2x+x2+x3）-（2+2x+x2）x2n+11-x2；

H（Pn，cn）=（1+2x+2x2）-（2+2x+x2）x3n+11-x3。

证明：如果n=1，结论显然成立。

如果n2，以螺旋邻六角链On为例，根据Hosoya 多项式的定义我们可以得到

H（On，cn）=∑v∈V（On-1）xd（v，cn-1）+∑v∈V（Bn＼cn-1）xd（v，cn-1）

=xH（On-1，cn-1）+（1+x+2x2+x3）；

类似地，我们得出

H（Mn，cn）=x2H（Mn-1，cn-1）+（1+2x+x2+x3）；

H（Pn，cn）=x3H（Pn-1，cn-1）+（1+2x+2x2）。

由上述公式迭代递推，我们有

H（On，cn）=x（n-1）H（O1，c1）+（1+x+x2+…+xn-2）（1+x+2x2+x3）；

H（Mn，cn）=x2（n-1）H（M1，c1）+（1+x2+x4+…+x2（n-2））（1+2x+x2+x3）；

H（Pn，cn）=x3（n-1）H（P1，c1）+（1+x3+x6+…+x3（n-2））（1+2x+x2）。

注意到H（O1，c1）=H（M1，c1）=H（P1，c1）=1+2x+2x2+x3。

因此，把其代入上述公式可得最终结果，即

H（On，cn）=（1+x+2x2+x3）-（2+2x+x2）xn+11-x；

H（Mn，cn）=（1+2x+x2+x3）-（2+2x+x2）x2n+11-x2；

H（Pn，cn）=（1+2x+2x2）-（2+2x+x2）x3n+11-x3。

注意到H（O1）=H（M1）=H（P1）=6+6x+6x2+3x3。下面我们将分别给出计算On，Mn，Pn（n2）的Hosoya多项式的公式。

定理2.2.2 如果n2，那么有

H（On）=6+6x+6x2+3x3+（n-1）（5+x+4x2+5x3+5x4+4x5+x6）1-x-（2+2x+x2）2（1-xn-1）x3（1-x）2；

H（Mn）=6+6x+6x2+3x3+（n-1）（5+6x+5x2+5x3+2x4+x5+x6）1-x2-（2+2x+x2）2（1-x2（n-1））x4（1-x2）2；

H（Pn）=6+6x+6x2+3x3+（n-1）（5+6x+10x2+6x3+2x4-2x5-2x6）1-x3-（2+2x+x2）2（1-x3（n-1））x5（1-x3）2。

證明：以螺旋间六角链M（n）为例，我们得到

H（Mn）=

H（Mn-1）+∑u∈V（Mn-1），v∈V（Bn）＼cn-1xd（u，v）+∑u，vV（Bn）＼cn-1xd（u，v）=

H（Mn-1）+∑u∈V（Mn-1）（2xd（u，cn-1）+1+2xd（u，cn-1）+2+xd（u，cn-1）+3）+∑u，vV（Bn）＼cn-1xd（u，v）=

H（Mn-1）+H（Mn-1，cn-1）（2x+2x2+x3）+（5+4x+4x2+2x3），

由上述公式迭代递推，我们有

H（Mn）=H（M1）+∑nk=2H（Mk-1，cn-1）（2x+2x2+x3）+（n-1）（2x3+4x2+4x+5），

根据引理2.2.1，我们得到

H（Mk-1，ck-1）=（1+2x+x2+x3）-（2+2x+x2）x2k-11-x2。

把其代入上述公式可得

H（Mn）=（6+6x+6x2+3x3）+（2x+2x2+x3）（n-1）（1+2x+x2+x3）1-x2-（2x+2x2+x3）（2+2x+x2）（x3+x5+x7+…+x2n-1）1-x2+（n-1）（5+4x+4x2+2x3），

重新整理，得出H（Mn）的最终结论，即

H（Mn）=6+6x+6x2+3x3+（n-1）（5+6x+5x2+5x3+2x4+x5+x6）1-x2-（2+2x+x2）2（1-x2（n-1））x4（1-x2）2。

类似地，我们可以得到H（On）和H（Pn）的最终结果。

根据定义2.1.52.1.6及以上定理，通过Matlab软件进行详细计算可以得到以下推论。

推论2.2.3 螺旋ortho链On，螺旋meta链Mn和螺旋para链Pn的Wiener指标是

W（On）=256n3+652n2-293n；

W（Mn）=253n3+20n2-43n；

W（Pn）=252n3+152n2+7n。

推论2.2.4 螺旋ortho链On，螺旋meta链Mn和螺旋para链Pn的HyperWiener指标是

WW（On）=2524n4+15512n3+154724n2-43712n；

WW（Mn）=256n4+352n3+1736n2-172n；

WW（Pn）=758n4+554n3+298n2+614n。

推论2.2.5 螺旋ortho链On，螺旋meta链Mn和螺旋para链Pn的TSZ指标是

TSZ（On）=524n5+154n4+67924n3+4474n2-84n；

TSZ（Mn）=53n5+656n4+863n3+2356n2-613n；

TSZ（Pn）=458n5+15n4+27724n3+2n2+1556n。

2.3 特殊多联苯链的Hosoya多项式

这部分我们将会给出三种特殊多联苯链O′n，M′n，P′n的Hosoya多项式以及一些简单的结论。

我们用R′n表示所有长度为n的多联苯链。设G′（n）=B′1B′2…B′n∈R′（n），其中B′k是G′（n）中第k个六边形，并且设c′k是B′k和B′k+1的多联苯连接点，k=1，2，…，n-1。然而长度为n-1的序列（c′1，c′2，…，c′n-1）被称为G′（n）的多联苯点序列。若多联苯连接点c′i和螺旋连接点c′i+1的距离分别为1，2和3（i=1，2，…，n-1），则分别称G′（n）为多联苯ortho链，多联苯meta链，多联苯para链（如图2所示）。所以依次用O′n，M′n，P′n分别表示长度为n的多联苯ortho链，多联苯meta链，多联苯para链。

若u是G′（n）的一个点，那么我们设H（G′（n），u）：=∑v∈V（G′（n））xdG′（n）（u，v）。

引理2.3.1 如果n1，那么有

H（O′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x2n）1-x2；

H（M′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x3n）1-x3；

H（P′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x4n）1-x4。

证明：如果n=1，结论显然成立。

如果n2，以多联苯链邻六角链O·′n为例，根据Hosoya多项式的定义我们可以得到

H（O′n，c′n）=∑v∈V（O′n-1）xd（v，c′n）+∑v∈V（Bn）xd（v，c′n）=x2H（O′n-1，c′n-1）+（1+2x+2x2+x3）；

类似地，我们得出

H（M′n，c′n）=x3H（M′n-1，c′n-1）+（1+2x+2x2+x3）；

H（P′n，c′n）=x4H（P′n-1，c′n-1）+（1+2x+2x2+x3）。

由上述公式迭代递推，我们有

H（O′n，c′n）=x2（n-1）H（O′1，c′1）+（1+x2+x4+…+x2n-2）（1+2x+2x2+x3）；

H（M′n，c′n）=x3（n-1）H（M′1，c′1）+（1+x3+x6+…+x3（n-2））（1+2x+2x2+x3）；

H（P′n，c′n）=x4（n-1）H（P′1，c′1）+（1+x4+x8+…+x4（n-2））（1+2x+2x2+x3）。

注意到H（O′1，c′1）=H（M′1，c′1）=H（P′1，c′1）=1+2x+2x2+x3。

因此，把其代入上述公式可得最终结果，即

H（O′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x2n）1-x2；

H（M′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x3n）1-x3；

H（P′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x4n）1-x4。

注意到H（O'1）=H（M'1）=H（P'1）=6+6x+6x2+3x3.下面我们将分别给出计算O'n，M'n，P'n（n2）的Hosoya多项式的公式。

定理2.3.2 如果n2，那么

H（O'n）=6+6x+6x2+3x3n+（n-1）x（1+2x+2x2+x3）21-x2-（1+2x+2x2+x3）2（1-x2（n-1））x31-x22；

H（M'n）=6+6x+6x2+3x3n+（n-1）x（1+2x+2x2+x3）21-x3-（1+2x+2x2+x3）2（1-x3（n-1））x41-x32；H（P'n）=6+6x+6x2+3x3n+（n-1）x（1+2x+2x2+x3）21-x4-（1+2x+2x2+x3）2（1-x4（n-1））x51-x42。

证明：以多联苯间六角链为例，我们得到

H（O'n）

=H（O'n-1）+∑u∈V（O'n-1），v∈V（Bn）xd（u，v）+∑{u，v}∈V（Bn）xd（u，v）

=H（O'n-1）+∑u∈V（O'n-1）（xd（u，c'n-1）+1）+2xd（u，c'n-1）+2）+2xd（u，c'n-1）+3）+xd（u，c'n-1）+4）+∑{u，v}V（Bn）xd（u，v）

=H（O'n-1）+H（O'n-1，c'n-1）（x+2x2+2x3+x4）+（6+6x+6x2+3x3），

由上述公式迭代遞推，我们有

H（O'n）=H（O'1）+∑nk=2H（O'k-1，ck-1）（x+2x2+2x3+x4）+（n-1）（3x3+6x2+6x+6），

根据引理2.3.1，我们得到

H（O'k-1，c'k-1）=（1+2x+2x2+x3）（1-x2（k-1））1-x2。

把其代入上述公式可得

H（O'n）=（6+6x+6x2+3x3）+（x+2x2+2x3+x4）（1+2x+2x2+x3）（n-1）1-x2

-（x+2x2+2x3+x4）（x2+x4+x6+...+x2（n-1））1-x2+（n-1）（6+6x+6x2+3x3）

=（6+6x+6x2+3x3）n+（x+2x2+2x3+x4）（1+2x+2x2+x3）（n-1）1-x2[（n-1）-x2（1-x2（n-1））1-x2]，

重新整理，得出H（O'n）的最终结论，即

H（O'n）=（6+6x+6x2+3x3）n+（n-1）x（1+2x+2x2+x3）21-x2-（1+2x+2x2+x3）2（1-x2（n-1））x3（1-x2）2。

类似的，我们可以得到H（M'n）和H（P'n）的最终结果。

根据定义2.1.52.1.6及以上定理，通过Matlab软件进行详细计算可以得到以下推论。

推论2.3.3 多联苯ortho链O'n，多联苯meta链M'n和多联苯para链P'n的Wiener指标是

W（O'n）=12n3+36n2-21n；

W（M'n）=18n3+18n2-9n；

W（P'n）=24n3+3n。

推论2.3.4 多联苯ortho链O'n，多联苯meta链M'n和多联苯para链P'n的Hyper-Wiener指标是

WW（O'n）=6n4+30n3+1292n2-1172n；

WW（M'n）=272n4+27n3+21n2-392n；

WW（P'n）=24n4+12n3-152n2+272n。

推论2.3.5 多联苯ortho链O'n，多联苯meta链M'n和多联苯para链P'n的TSZ指标是

TSZ（O'n）=125n5+18n4+59n3+2072n2-122910n；

TSZ（M'n）=8110n5+27n4+36n3+24n2-35110n；

TSZ（P'n）=965n5+24n4-2n3-152n2+26310n。

参考文献：

[1]H.Hosoya，On some counting polynomials in chemmistry.Discrete Appl.Math.19（13）（1988）239257.

[2]B.E.Sagan，Y.N.Yeh，P.Zhang，The Wiener polynomial of a graph.Int.J.Quant.Chem.60（5）（1996）959969.