基于热防护服温度分布的数学模型建立

张烨 张晓 惠欢欢 慕涛涛

摘 要：本文针对热防护服的温度分布问题，建立多层平壁模型，對热防护服的温度分布进行求解。首先利用导热微分方程得出三类边界条件，然后建立多层平壁模型，最后结合三类边界条件，得出求解温度分布的微分方程并在MATLAB软件绘制出各层温度分布图。测试数据表明，本文方法解决了多径向导热问题，准确度更高，可直接服务于高温作业中的作业人员，具有较高的现实意义。

关键词：高温作业;温度分布;导热微分方程;多层平壁模型

高温专用服装的用处就是能起到阻隔热能到达人体皮肤表面的作用，以保护皮肤不被烧伤或灼伤。当前，对于高温服装的材料性能评价主要是依靠大量的性能测试，将材料的性能值作为评价材料隔热性能好坏的标准。本文参照2018高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题，利用题目中给出的两组数据：专用服装材料的参数值;假人皮肤外侧的测量温度，在特定情形下进行求解，计算得到假人皮肤外侧的温度分布情况。

1 三类边界条件

针对此问题，利用导热微分方程，[1，2]求得某点处的温度变化模型。本文根据环境温度、时间、每一层的厚度，利用导热微分方程得出假人皮肤外侧温度随时间的变化规律。若物性参数 λ ，  c  和 ρ 均为常数，则

T t = a  2 T x 2 （1）

其中  a =λρ c  为热扩散率（导温系数）[3][  m 2/ s  ]。

与导热有关的边界条件[4]有三种：

①第一类边界条件：已知任一瞬态导热体边界上温度值：

t | s=t w1 （2）

②第二类边界条件：已知物体边界上热流密度的分布及变化规律：

q|   s = q   w = f （ r ，τ） （3）

③第三类边界条件：已知任一时刻边界面周围介质的温度变化规律以及物体边界与周围介质的热传递规律，根据牛顿冷却定律和傅里叶定律，得到

- λ（ t  x ）  w = h （ t   w  -t   f ） （4）

其中，  h （ t ） 为表面传热系数，  t   f  为流体温度。

2 多层平壁模型的建立

现实生活中存在着大量多层材料的导热问题，通常认为这类问题的温度梯度仅出现在径向一个方向上，因此可以根据多层平壁模型[5]来计算。假设：

a . 各层厚度分别为 δ 1 、 δ 2 、 δ 3 ，各层材料的热导率分别为 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 ;

b . 各层之间接触紧密，相互接触的表面具有相同的温度;

c . 平壁两侧外表面分别保持均匀恒定的温度  tw 1 、  tw4  。

图1 三层平壁的传热过程

由图1得出，多层平壁导热可以看做是一种串联的导热过程，其推动力为各分过程温度差之和（即总温度差），总热阻为各分过程热阻之和，[6]也就是串联电阻叠加原则。

3 温度分布图的求解

基于多层平壁模型，本文结合导热微分方程的三类边界条件，最终利用matlab求出各层温度分布图。

假设无内热源，内外表层分别保持均匀温度。以第一层为例，已知环境温度为  t   w  ，第一层的温度为  tw 1 即  t   w =75℃  tw 5=37℃ ，则该问题的数学描述为

2 t  x 2=0 （5）

对其积分求出通解为：

t =C 1 x +C 2 （6）

（1）平壁边界的第一类边界条件，即

x =0， t = t   w

x =δ 1， t = tw 1 （7）

代入（6）式，可确定通解中的两个任意常数，得到该问题的温度分布为

t = t   1  -  t   w  -tw1 δ x  （8）

通过平壁的热流量[7]的最终表达形式为：

=λA t   w  -tw 1δ= t   w  -tw 1δλA （9）

在上述表达式中， δλ 为热阻用 R λ 表示。把通过第一层的热流密度[8]记作  q  1 ，单位为 W/m ，则有：

q  1= t   w  -tw 1R λ1= t   w  -tw 1δ 1λ 1 （10）

同理，可以得出第二层、第三层、第四层及假人皮肤外侧的热流密度。

q  2= tw1  -tw 2 R  λ 2 = tw 1 -tw 2δ 2λ 2 （11）

q   3 = tw2  -tw 3 R  λ 3 = tw 2 -tw 3δ 3λ 3 （12）

q   4 = tw3  -tw 4R λ4= tw 3 -tw4 δ  4 λ  4  （13）

q   5 = t   w  -tw 5R λ1+R λ2+R λ3+R λ4 （14）

对于一维导热，傅里叶定律可写作  q =λ t  x  ，稳态导热无内热源，q为不随  x  变化的常量。根据能量守恒定律原理得到平壁中稳态温度分布的另一种形式

t = t   w  - qλ x  （15）

（2）平壁边界的第三类边界条件，即：

-λ t  x  x=0=h 1（t w-t w1）

-λtx x=δ=h 2（ tw1  -tf2 ）

计算得到第一层热流密度，即

q x=0=h 1（t f1-t w1）

q=λδ（t w1-t w2）

q x=δ=h 2（t w2-t f2） （16）

在稳态情况下可得：

q 1=t f1-t f21h 1A+δλ+1h 2A= k （ tf 1 -tf 2） （17）

其中，传热系数 K 满足 1k=1 h  1+δλ+1 h  2 ，又根据傅里叶定律可得

dt  dx = - qλ= - 1λ· tf 1 -tf 21 h  1+δλ+1 h  2 （18）

據上式，将相关参数带入方程，利用 matlab 软件求出各层的温度分布图，如图2所示。

图2 各层的温度分布图

结合得出的数据，从图2可以看出温度随时间变化的规律：第一层织物材料，在0-886s时间段内温度上升较快，最后温度稳定在74.34  ° C 左右上下波动;第二层织物材料，在0-876s时间段内温度上升较快，温度在72.80  ° C 左右上下波动;第三层织物材料的温度，在0-810s时间段内温度上升较快，温度保持在63.17  ° C 左右;第四层，即第三层与皮肤之间的间隙，在0-881s时间段内的温度上升较快，最后缓慢上升并在48.12  ° C 左右上下浮动。

4 结语

本文首先利用导热微分方程得出三类边界条件，然后建立多层平壁模型，最后结合三类边界条件，得出求解温度分布的微分方程并在MATLAB软件绘制出各层温度分布图，进而分析得到温度随时间变化的规律。测试数据表明，本文方法便于理解，准确度更高，可以解决许多径向导热问题，对挖掘和提高这类系统的热工作性能、节约能源具有十分重要的意义。本文的研究成果，可直接服务于高温作业中的作业人员，为其提供良好的服装设计方案，具有较高的现实意义。

参考文献：

[1]邓先琛.对建立球面坐标系中的导热微分方程式探讨[J].安徽工学院学报，1987（6）：58-60.

[2]贾力，方肇洪，钱兴华.高等传热学[M].高等教育出版社，2003（3）：21-25.

[3]张传坤，魏珉，刘福胜，徐平丽.日光温室后墙夜间非稳态导热特性研究[J].西北农林科技大学学报，2019（2）：3-4.

[4]乌江津.加热炉优化控制方法与仿真系统研究[J].大连理工大学，2006（12）：11-12.

[5]滕波涛，谢坚坚，冯姗，刘亚.研究性学习在化工原理教学中的应用[J].化学教育，2016：58-59.

[6]赵娟，苏晓海.组合壁热阻的求解思想及应用分析[J].陕西理工学院学报，2010（12）：49-50.

[7]郑坤灿，陈莉荣，向峰伟，覃祯俊，李和辉.对一维稳态传热过程类电流求解方法的讨论[J].中国冶金教育，2012（12）：49-51.

[8]高子龙.火用分析在稳态导热中的应用研究[J].节能，2017（10）：23-24.