整体设计：为不教而教

潘海波

人民教育出版社中学数学研究室的章建跃博士认为：数学整体观就是“从整体出发，逐渐分化”，他指出，教学中可以引导学生“从宏观到微观，逐步寻找知识发展所需要的逻辑基础，然后按知识的逻辑顺序逐步展开学习。”受此启发，笔者结合最近执教的“锐角三角函数”（第1课时），从数学整体观上反思这节课，以期提升自我。

一、“锐角三角函数（1）”教学课例

（一）教学设计流程

1、情境引入

展示直角三角形，提出问题：你已经懂得了直角三角形的那些性质？你是从哪些角度来归纳的？

预设意图：引导学生思考回顾，并为知识的整体建构做准备。

2、新知探究

（1）明确研究对象与任务，整体感知边角关系研究的各种情况：

对边/邻边，邻边/对边，对边/斜边，斜边/对边，邻边/斜边，斜边/邻边。

（2）选择一种情况重点研究（对边/邻边），由特殊引发猜想，并进行证明。

（3）抽象命名，揭示课题。

预设意图：引导学生通过整体感知直角三角形边角关系研究的各种情况，明确研究问题的方向和方法;通过“由特殊引发猜想，并进行证明”的过程经历，进步一步深化学生探究数学问题的一般思路和策略。

3、成果扩大

（1）给出正切的定义与符号表示。

（2）举例、验证、归纳正切的有关性质。

预设意图：引导学生准确表述正切的定义，发展学生数学语言规范表达的能力;探究性质时，在学生举例的基础上，进行严格的推理证明，让学生的概念学习因过程经历而体验丰富。

4、小结延伸

（1）小结学习正切的方法;

（2）把“邻边/对边”称为余切，自己学习余切，小组交流，全班汇报。

预设意图：基于这種“生长式”小结，进一步梳理正切的学习方法，并发展学生迁移、类比的数学学习能力，引导学生课后自己学习其它锐角三角函数。

（二）教学片断展示

片段1：开课阶段

教师：这节课我们来研究直角三角形的边角关系。想研究边角关系，首先要确定一个角，再研究其它两边的关系。前面研究过任意两边的和、差关系，接下来该研究什么关系呢？

学生1：积、商关系。

教师（追问）：你已经知道那两条边的乘积关系了？

学生1：直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半！

教师：很好！这就是直角三角形的边的积（重音表达）的关系！

教师：我们有没有学过边的商的关系？

众生：没有。

教师：两边之商就是两条边相除，也叫两边之比。你们认为存在哪几种两边之比的关系？

学生2：……

（学生2站在位置上，却又表达不方便，教师察觉）

教师：你上去演示一下。

学生2：这条边比这条边，这条边比这条边，……（显得表达较为啰嗦）

教师：为了方便表达，我们确定∠A，BC叫做∠A的对边，AC叫做∠A的邻边，AB则称斜边。（同时在图中标出）。请你再说一遍！

学生2：对边/邻边，对边/斜边，邻边/斜边。

教师：（板书）其他同学有没有补充？

学生3：老师还有，邻边/对边，斜边/对边，斜边/邻边。

教师：正确！（继续板书）

教师：我们研究这些比，是否要6种比逐个研究？

能否减少点？最少要研究几种比？

学生4：最少研究3种！

教师（追问）：为什么？

学生4：它们中有些互为倒数！

……

片段2：课堂小结

教师：今天我们学习了正切，我们从哪几个方面来展开学习的？

学生1：（读板书）定义、表示、求法、性质。

教师：余下5种比中，哪种最容易了？

众生：邻边/对边。

教师：如果我们把这组比称为余切，现在请大家小组学习余切的知识，待会进行全班交流！

（学生分组学习，气氛热烈。）

教师（巡视后）：学习中要不要老师帮忙？

众生：余切怎么表示？

教师（板书cot）：读作……

（学生继续分组学习，气氛更加热烈。）

大约5分钟后，全班交流。

教师：现在各小组交流学习成果。

小组1：我们很快得出了定义……、表示……、求法……，性质①cotA·cotB=1，②cot随着的增大而减小。

教师：你们小组学习很认真！非常好！其他组有没有补充？

小组2：性质加一条：tanA·cotA=1.

教师：正确！（追问）怎么证明？

小组2：……

教师：课后请大家继续研究剩下4种比中的2种，“对边/斜边，邻边/斜边”下节课我们交流！

二、从整体观看数学课堂

叶澜教授领衔的“新基础教育”认为：“教学活动的组织与开展要关注整体策划与综合设计。”本课例正是“新基础教育”的概念课型，下面围绕数学整体观给出相关解读和思考。

1、基于数学现实，巧妙构建知识框架

本课教学内容，教材上是从楼梯的陡峭程度切入的，当前绝大部分教师的公开课上，也都喜欢使用或借鉴这样的生活情境作为课堂导入。在备课时，笔者也做了思考，是否真的需要生活情境？其意义又何在？我认为，情境可以是实际生活情境，也可以是学生已有的数学知识情境（简称“数学现实”），在本节课中，通过对直角三角形已有性质的回顾，巧妙地构建了直角三角形的知识框架，即研究直角三角形，不仅要研究边的关系和角的关系，还要研究它的边角关系，是学生瞬间就清晰了知识脉络和研究内容，这样的数学现实情境为何不用呢！

2、实现整体感知，先见森林后见树木

锐角三角函数是这个角的正切、正弦、余弦的总称。教材对这一内容的安排是，第一课时教学正切的概念，第二课时教学正弦、余弦的概念。这样编排的教学容易出现“只见树木，不见森林”的现象，导致学生对锐角三角函数的认识割裂。因此我在教学时，引导学生明确在一个锐角大小确定的前提下，研究直角三角形任何两边的长度的比值，整体感知各种情况，进而选择其中一种情况进行重点研究，就好比是带领学生郊游，先看到大片的森林，再走进森林，去触摸一棵棵的树木。这样处理的目的在于使学生在整体认识的基础上进行主动的和进入有意义的学习过程。

3、注重前后关联，先教结构后用结构

关于怎样上好一堂课，著名特级教师于漪老师曾提出要善于“联系、扩展，增添感情浓度，形成余音缭绕”。本课案例主要教学了“正切”的内容，但教师在课堂小结时，巧妙地利用了“知识之间是相互联系的”这一特点，给出“小组学习余切”的任务，这不仅是对“正切”知识的回顾，更是对“锐角三角函数”学习方法的深化。然而课堂并没有就此罢休，教师在全班交流“余切”知识后，进一步提出课后自主研究其它两组三角函数，这种极具 “生长力”的课堂小结，就有一种“余音缭绕”之感。当学生继续学习其它三角函数时，就会发现今天的“正切”知识结构可以迁移使用至其它各种三角函数。