四旋翼无人机飞行控制中四元数与欧拉角的转换

陈孟臻

摘  要：在四旋翼无人机飞行控制环路中，欧拉角便于终端输出，适合人的直观观察和理解，方便人为调整姿态控制参数，进而调整四旋翼飞行姿态，但是占用内存较大。而四元数占用内存少，且方便在环路控制中实现插值操作，因此可提高机器运算速度，实现快速参数设定，因此研究四元数与欧拉角之间的转换方式具有一定的研究意义。

关键词：无人机;姿态;四元数;欧拉角

1 四元数

四元数（Quaternions）是简单的超复数，由爱尔兰数学家哈密顿在1843年提出的数学概念，总所周知复数是由实数加上虚数单位i组成，其中。相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位i、j、k 组成，而且它们有如下的关系：

四元数一般可表示为a+bi+cj+dk，其中a、b、c、d是实数，称为四元数的模。为了说明是a+bi+cj+dk怎么和三维旋转结合在一起的，使用如下式子来表示一个四元数：

q =（x，y，z），w）=（v，w），其中：其中v是向量，w是实数。使用一个四元数：，来执行一个旋转，即把空间中一个P点绕着单位向量轴u=（x，y，z）表示旋转轴旋转角度θ，当把P点扩展到四元数空间，即p=（P，0），旋转后新的点对应的新坐标为：。

2.从欧拉角到四元数

歐拉旋转是最接近自然理解的一种旋转方式，日常生活中常这些轴称为前、后、左、右、上、下、这意味着在旋转之前需要指明一个顺序。其按照一定的坐标轴顺序（例如先x、再y、最后z）、每个轴旋转一定角度来变换坐标或向量，它实际上是一系列坐标轴旋转的组合。给定一个旋转顺序（例如z、x、y），以及它们对应的旋转角度（φ，θ，ψ），不同的坐标选择结果不一样。欧拉旋转的数学实现常见使用3×3矩阵：

在四旋翼无人机飞行控制中，规定航空次序欧拉角为：Z轴（yaw，ψ），Y轴（pitch，θ），X轴（roll，φ），其中，pitch是围绕X轴旋转，也叫做俯仰角;yaw是围绕Y轴旋转，也叫偏航角;roll是围绕Z轴旋转，也叫翻滚角。导航坐标系（N系）X轴指向正东方向，机头也朝向正东方向;导航坐标系Y轴指向正北方向，机左翼指向正北方向;导航坐标系Z轴垂直地表指向天空，垂直机体指向天空。每个轴都以逆时针旋转的角度为正角度。

3.结束语

欧拉角容易理解，也有利于将旋转分解为单个自由度，但按欧拉角旋转时，必须做三次旋转并将它们相乘，内存消耗大。在实践中使用四元数更高效，因为四元数只是一个旋转，同时计算机已经编码了正弦值和余弦值，因此它更便于计算机进行运算，解决了欧拉角运算速度的问题，所以从四元数到矩阵的转换是非常有效的。

参考文献

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基金项目：1.广西壮族自治区教育厅项目：高校中青年教师基础能力提升项目（KY2016LX339）2.广西壮族自治区教育厅项目：广西本科高校特色专业及实验实训教学基地（中心）建设——电子信息工程。