一类二元二次不等式问题及其解法的本质探析

张海明

摘  要：在高中阶段处理数学问题时会经常碰到二元二次方程约束下的不等式这类问题。处理这种问题常常用到数形结合的思想，因此解决这类问题应该从两方面入手。从数的视角看，通常可以通过消元或者换元转化为单变量函数，或者利用均值不等式实现二元二次与二元一次之间的转换;从形的视角看，通常可以转化为定点或者定直线到圆锥曲线上动点的距离的最大值与最小值问题。本文仅从一个典型问题出发，探析解决此类问题及其解法的本质。

关键词：二元二次不等式;问题;解法

一、问题呈现

例题1x2-y2-2x+2y-1=0，求证x2+y2>0.25。

这道题虽然看起来形式复杂，但经过恒等变形，可以将陌生的形式变成我们所熟悉的公式。我们可以通过消元，减少未知数的个数简化式子，降低试题难度;也可以将公式与图形相结合，通过图形的形式将问题简化。

二、解法探析

思路1：从数的角度看，通过式子恒等变形，将式子中的未知数用三角代数转化，可以减少未知数的个数，将二元化为一元进行解答。令x=1/cosa，y=tana，那么x2+y2=（1+sin2a）/cos2a。分子为1+sin2a>0，分母也为大于的正数。x2+y2-1=2tan2a>o，經过恒等变形，不等式得证。

思路2：从图形的角度看，这个问题可以转化成双曲线与圆是否相离。x2-y2-2x+2y-1=0的所表示的几何图形为双曲线，x2+y2>0。25为半径为0.5的圆。将两个图象画在同一个图中可以看出双曲线的图象与圆的最小距离大于零。通过观察可以迅速得出结论x2+y2>0.25。这两个转化的实质是化高次问题为低次问题。

三、反思感悟

通过学习数学，我们可以看出发现问题比解决问题更重要，通过对所学知识的总结，可以及一反三，成倍提高学习效率。很多同学在高中数学的学习中没有对做题形成正确的认识，采用题海战术，而且很同学只针对自己会的内容反复练习，对不会的地方却不会下同样的精力，这样做题只能巩固会的知识，却不能查缺补漏，系统地整理知识框架。而且题海战术非常辛苦，不仅需要学生消耗大量的时间和精力，如果缺乏正确的方法指导，学生很容易对数学形成厌倦感，失去对学习数学的兴趣，不利于提高数学综合素质。因此，学习数学要针对自己不会的内容苦下功夫，挖掘题目的本质，这样才能达到举一反三的效果，学习起来既有动力又有效率。

1.由表及里，追寻问题及其解法的本质

数学题的量很大，而且有很强的灵活性，如果只是机械地做题，而没有对题目背后所隐藏的知识点进行挖掘和整合，不但不容易把握数学题目的本质，而且会沉浸在数学的形式之中无法自拔。就如上述例题一样，如果可以看出题目的本质就是在几何图形的引导下将二元二次消元、降阶转化成我们所擅长的一元函数，那么问题就会迎刃而解。可以看出，对本质的把握才是提高解题速度，保证做题质量的关键。

如例题：一个以（1，2）为圆心，半径为2的圆与y轴在第二象限的部分所围成的面积为S，若直线y=2x+b与圆相交且与圆围成的面积也是S，求b的具体数值。

分析：该题简明扼要，将直线与圆的位置关系表达得较为清楚，但很对同学却对此无从下手，有的计算S的面积，有的讲方程联立，既不能快速解题，又浪费了很多时间计算。但本题考查的数形结合的能力，如果清楚只要保证圆心到直线的距离相等，圆与直线所围成的面积就是相等的，题目就得到了解答。

解法：要使y=2x+b与圆的围成面积为S，只要使圆心（1，2）到直线y=2x+b的距离为圆心到y轴的距离，由题容易知道圆心到y轴的距离为1，点到直线的公式为：d=（AX0+BAY0+C）/（A2+B2）0.5。将直线y=2x+b通过恒等变形为2x+b-y=0，其中A=2，B=-1，C=b。（1，2）点即为（XO，YO）点，代入公式得（2*1-1*2+b）/（12+12）0.5=1。得出b=20.5。

2.格物致知，形成解题策略

学习数学讲解稳扎稳打，切忌心浮气躁，学习数学是一个循序渐进的过程。要想培养出出色的数学能力，必须夯实数学基础，在了解基本原理的基础上发散，领略数学魅力。解题的过程也因该遵循这个原则，首先要对所做的题目有较深的记忆，因为记忆是理解的基础，而且有利于将知识整合在一起;在对题目熟练掌握的基础上可以将所学知识变形达到对质的掌握。最后根据所学知识，总结属于自己的一套解题方法。

3.阐幽明微，启迪数学机智

解题的过程是将自己所学知识运用到实践之中的过程，这个过程需要学生对题目有一个整体把握，需要学生明白题目所考的方向是什么;怎样将复杂的问题分解成熟知的部分，在理性思维的指引下逐渐接近正确答案。数学问题繁多，机械做题并不可取，只有对数学问题的本质进行把握，达到做一道题会一类题的效果，才能化繁为简，体验学习乐趣。正如上述例题，将形式较为复杂的题型经过转化为我们熟悉的问题，也可以从图形的角度打开思路，根据题意，对解法进行探析。在对方法的灵活运用的基础上，加强做题力度，才是提高做题能力的正解。

参考文献

[1]祝敏芝.一类二元二次不等式问题及其解法的本质探析[J].中学数学教学参考，2018（Z1）：50-52.