初谈《三角形内角和定理》辅助线作用

赵凌

摘 要：三角形内角和定理的证明，可通过添加辅助线构造新图形形成新关系，如何建立已知和未知的桥梁，问题转化进行证明。

关键词：三角形内角;定理;平行线

在小学阶段同学们会信心十足地说：“我用量角器量过许多三角形的内角，每一个三角形三个内角的和确实都等于180°”，或者说：“我们曾把许多三角形纸片的三个角剪下来，拼成一个平角，得到三角形的内角和是1800”。或者通过折一折的几何操作方法来确认“三角形的内角和是1800”，但是对于“三角形内角和1800 ”的形成过程却不知道？我们动手操作的实践过程中会不会出现误差？不管是度量还是拼角都会存在误差;那么我们能不能用其他方法证明这个命题？

到了初中阶段通过严格的几何证明得出了“三角形的内角和等于180°”，在课本中是直接利用平行线的性质通过平移角的方法来证明的.对初中生来说添加辅助线是很难的，因为这是他们第一次通过添加辅助线来证明题目.为了不让初中生对添加辅助线产生畏惧，教师一定要引导、设计好这一课，但是我们该如何给学生讲清楚为什么要添加辅助线，让学生“知其然，知其所以然”，让学生在基于认知和生产的数学思维基础上的开花、结果。这就要求教师要运用自己的智慧和魅力不断地培养学生的创新能力和发散思维能力，鼓励学生大胆实验，小心求证。这既能摆脱习惯思维的束缚，拓宽思维范围，又能使创造性思维能力得到发展，以适应当前素质教育的需要。

介绍新法、激发兴趣

一、操作实验法

法国数学家帕斯卡11岁时，在玩长方形时发现：长方形沿对角线折叠得到两个完全相同的直角三角形。他想：任意长方形的四个直角之和是3600，那么两个完全一样的直角三角形的内角和就是1800，所以他进一步推断“任意三角形的内角和为1800”。

二、推理证明法

方法一

分析：因为  ∠B=∠2

所以MA∥BC

因为  ∠C=∠3

所以NA∥BC

因为 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以M、N、A在同一条直线上，所以∠MAN=1800

从而得到：

要想证明三角之和等于180度，那么我們要借助平行线，所以在这里添加辅助线。

证明：过A点作MN∥BC

因为MN∥BC

所以∠B=∠2 ，∠C=∠3

因为∠MAN=180°  ，∠A+∠2+∠3=180°

所以

方法二

分析：∠A移到∠1的一条边和CA的边重合，另一条边为CM;∠B移到顶点C处让∠B的一条边与BC的延长线重合，另一边落在CM处，

因为 ∠A=∠1

所以MC∥BA

因为∠B=∠2

所以  CM∥BA

又因为：MC∥BA，CM∥BA

所以CM与CM相重合

因为 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，

所以B、C、D在同一条直线上

所以∠BCD=180

从而得到：

证明：过C点作MC∥BA，延长BC 到D

因为MC∥BA

所以∠A=∠1，∠B=∠2

因为∠BCD=1800 ，∠C+∠2+∠3=1800

所以

波利亚在《怎样解题》中说道“聪明的学生和读者不会满足于只验证推理的各个步骤都是正确的，他们也想知道各个步骤的动机和目的，如果一条巧妙的辅助线和辅助图形突然出现在图形中看不出什么动机，并且令人惊讶的解决出了问题，那么聪明的学生会和读者会感到很失望，她们觉得上当受骗了。”通过以上两种推理证明方法，深刻的向学生讲清楚几何证明过程中的“为什么”。

参考文献

[1]《中学数学教师需要具备怎么的知识》 新疆师范大学 杨军