基于（r，Q）策略的易腐品M/M/1/N排队库存系统

张鹤

摘 要：基于（r，Q）订货策略研究了易腐品的M/M/1/N库存模型。假设顾客的达到时间间隔，服务时间，易腐品寿命，进货时间都服从指数分布，首先，利用拟生灭过程理论得到了系统的稳态平衡条件，然后利用矩阵几何解得到了系统的稳态概率，从而得到了一些系统的性能指标，最后，利用系统的性能指标得到成本函数，再利用遗传算法求解了模型的最优库存策略。

关键词：易腐品；（r，Q）策略；拟生灭过程；矩阵几何解；遗传算法

中图分类号：TB 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2019.33.103

1 引言

易腐性产品是指那些必须在有限时间内售出，否则将发生变质、损坏、挥发、过期且必须进行清仓处理的商品，其显著特点是在储存和流通的过程中其数量会因为变质、挥发、失效等而逐渐减少。如生鲜食品，水果，蔬菜，牛奶，鲜花，药品等，存储过程中随存储时间的增加，商品会因为发生腐烂、变质等原因使得数量减少。目前我国的易腐性产品在流通过程中造成的各种损失非常大，每年易腐产品造成的各种损耗之和高达千亿。所以对易腐品库存系统的分析是很重要的，易腐品的库存问题也引起了广大学者的关注。

Schwarz等研究了分别基于随机订购策略，（r，Q）策略，（s，S）策略，等待空间有限或无限的排队库存系统，给出了每个系统的平稳分布。Sivakumar研究了基于（s，S）策略的顾客源有限的易腐品库存系统，在稳态情况下，给出了库存水平和需求量的联合概率分布。推导了各种系统性能指标，并用数值方法对结果进行了说明。Manuel等研究了基于（s，S）策略的等待空间有限的两类顾客的易腐品库存系统，给出了系统的各种性能指标以及成本函数并求解。Ravichandran研究了基于（s，S）策略具有马尔可夫需求，Erlangian寿命和损失销售的连续盘点易腐库存系统，给出了系统的性能指标以及成本函数。Mohamed 等基于（r，Q）策略研究了具有不耐烦顾客的易腐库存系统的服务率最优控制问题，利用线性规划算法对平稳最优策略进行了计算，并给出了数值算例。Perry和Stadje基于（S-1，S）策略研究了具有有限等待空间的延期销售的易腐品库存系统，给出了成本函数并求解。Melikov和Shahmaliyev研究了基于（S-1，S）策略等待空间有限的延期销售的易腐品库存系统，给出了系统的性能指标以及数值结果，解决了成本最小的优化问题。

上述文献多是基于（s，S）策略或是（S-1，S）策略进行研究，本文基于（r，Q）订货策略研究了易腐品的M/M/1/N库存模型。第二节给出了模型的描述，第三节求解了系统的平衡条件，第四节利用拟生灭过程求出了系统的稳态概率向量，第五节给出了系统的性能指标，第六节利用遗传算法求解出成本函数的最优解，第七节给出了结论。

2 模型描述

模型的基本假设如下：

顾客需求的到达时间间隔服从参数为λ的指数分布，顾客到达后按到达先后顺序形成一个队列，并且等待空间是有限的，若系统中有N个顾客，其他顾客将不会进入队列。每位顾客的需求量为一个单位的库存。

系统中只有一个服务员，采用先到先服務的服务规则。服务需要一定的时间，服务时间服从参数为μ的指数分布。商品的寿命服从参数为θ的指数分布，商品变质后不能出售，库存数量相应减少。

系统采用（r，Q）进货策略，即当系统的库存水平下降到安全水平r时，系统立即向供货商发出订货请求，每次订货量为Q，进货时间服从参数为β的指数分布。

系统是延期销售的，即当库存为零时，允许顾客可以进入系统进行等待。需求到达，服务过程和进货过程是相互独立的。

3 系统平衡条件

3.1 状态过程

我们规定系统的状态过程为{X（t），Y（t）；t0}，其中X（t）表示t时刻系统中的顾客数量，Y（t）表示t时刻的库存数量。

状态空间为：

Ω=i，j，0

3.2 系统平衡条件

根据拟生灭过程定义可知过程{X（t），Y（t）；t≥0}是拟生灭过程，令F=B+C+D，有

所以，公式（1）就是系统到达稳态平衡的充分必要条件。πDα表示系统中顾客的到达率，πCα表示系统库存不为零时的服务率，即当系统的到达率小于服务率时系统到达稳态平衡。

4 矩阵几何解

定义稳态概率为：

第三步：由公式（2）和方程组（3）可得系统的稳态概率向量。

5 稳态性能指标

5.1 平均等待队长

Elq=∑N-1i=1∑r+Qj=0iPi+1，j

=∑N-1i=1iPi+1e2

=P0RI-RN-1I-R-2-N-1RN-1I-R-1e2

5.2 平均库存

Ei=∑Ni=0∑r+Qj=0jPi，j=∑Ni=0Pie3=P0（I-RN+1）I-R-1e3

其中e3=0，1，…，r+QT

5.3 平均订货率

Ep=∑Ni=0∑rj=0βjPi，j=∑Ni=0βPie4=βP0（I-RN+1）I-R-1e4

其中e4=（a，b）T，a是r+1维的行向量，所有元素都是1，b是Q维行向量，所有元素都是0。

5.4 平均库存损失率

Er=∑Ni=0∑r+Qj=0θjPi，j=∑Ni=0θPie3=θP0（I-RN+1）I-R-1e3

（5）顾客平均损失率

Eli=λ∑r+Qj=0P（N，j）=λPNe2=λP0RNe2

6 成本分析

系统的成本假设主要由顾客平均等待成本，库存保管成本，每次订货成本，产品腐坏成本和顾客损失成本组成。假设每位顾客平均等待成本是C1，单位时间单位库存的保管成本是C2，单位时间每次订货成本是C3，单位时间产品腐坏成本是C4，单位时间顾客损失成本C5。所以系统的成本函数是：

Cr，Q=C1El+C2Ei+C3Ep+C4Er+C5Eli

遗传算法是模拟达尔文生物进化理论中自然选择和遗传机制的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程来寻找最优解的方法。本文采用[13]中的遗传算法来进行最优解的搜索，具体步骤如下：

第一步：初始化：设置进化代数计数器t=0，设置最大进化代数T，随机生成M个个体作为初始群体P（0）。

第二步：个体评价：计算群体P（t）中各个个体的适应度。

第三步：选择运算：将选择算子作用于群体。选择的目的是把优化的个体直接遗传到下一代或通过配对交叉产生新的个体再遗传到下一代。

第四步：交叉运算：将交叉算子作用于群体。判断个体的有效性，如果是有效个体，则保留；如果是无效个体，则随机生成一个交叉位置进行交叉，直至有效。

第五步：变异运算：将变异算子作用于群体。判断个体的有效性，如果是有效个体，则保留；如果是无效个体，则随机生成一个交叉位置进行交叉，直至有效。

第六步：对新种群适应度评价，找到最好的染色体，将它与上一次进化中最好的染色体比较，记录每一代进化中最好的适应变和平均适应度。

第七步：终止条件判断：如果满足算法终止的条件，输出当前最优个体，算法结束；如果不满足算法终止的条件，转到第三步。

本文研究了λ，μ，θ，β对最优策略和最优成本的影响，令C1=2，C2=5，C3=20，C4=50，C5=15，N=50。

其中参数设置为λ=2，μ=5，θ=0.1，由表4可知，随着β的增大，最优成本逐渐增大，最小库存无明显改变，订货量都逐渐减小。

7 结论

本文基于（r，Q）订货策略研究了易腐品的M/M/1/N库存模型。根据系统符合拟生灭过程得到了系统的稳态平衡条件，采用矩阵几何解方法得到了系统的稳态概率，从而得到了一些系统的性能指标，最后，利用系统的性能指标得到成本函数，再利用遗传算法求解了模型的最优库存策略，研究了系统各个参数对成本，最低库存以及订货量的影响。

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