采样长度对阻尼识别的影响

闫 凯，赵晓丹，连海平，程 惠，孙黎明

(1.江苏大学 汽车与交通工程学院，江苏 镇江 212013；2.洛阳拖拉机研究所有限公司 拖拉机动力系统国家重点实验室，河南 洛阳 471039)

阻尼表征振动衰减与能量耗散程度，是决定结构动力特性的重要参数[1]。准确识别结构的阻尼值，可以提高动力分析结果的可靠性；而阻尼值变化的准确识别，还可用于发现结构产生的细小裂纹等故障诊断方面。工程应用中，识别不准的阻尼值也会给很多方面的研究带来问题，识别精度不高会限制阻尼识别在故障诊断等方面的应用，提高阻尼识别精度一直是学者们所关心的焦点。目前阻尼识别的方法主要有：使用多单元传递函数方程计算阻尼值的传递函数法[2]；融合大容量数据谱分析技术和频域任意区间聚焦细化技术的大容量数据谱分析法；通过局部频率细化频率提高阻尼识别精度的细化与大容量数据采集分析法[3]；通过线性插值法近似确定频谱函数图像中半功率点进而计算阻尼值的半功率带宽法及其改进方法等[4-5]，此类阻尼识别方法都以傅里叶变换作为理论基础。傅里叶变换受截断误差影响[6]，导致阻尼识别结果精度降低，尤其当识别阻尼值较小时，由于其固有频率附近谱峰较窄[7-8]，时域截断造成的能量泄漏对阻尼识别影响增加，为减小这一影响，使用增大采样长度的方法以减小截断误差[9]。傅里叶变换理论分析是当积分时段趋向于无穷时截断误差为零，同时时间趋向于无穷时噪声频谱的期望值也为零，受这二点理论分析的影响容易形成采样时间越长，阻尼识别精度越高的结论，进而在工程实践中指导阻尼识别使用长数据分析。如在阻尼识别应用中，陈正林[10]使用采样时间为20 s、采样点数为20 000的长数据对曲轴阻尼进行识别；在桥梁领域，刘汉夫[11]提出应尽可能的增大数据采样量，采用更长的数据分析来保证阻尼分析结果的可靠。

在工程领域中，对信号的采集不可避免的会存在着随机噪声的干扰[12]。对工程信号作傅里叶变换的同时，噪声信号也在作积分运算，以采样分析时间到无穷得出采样越长识别精度越高的结论没有考虑到噪声信号随振动衰减信号一同被积分时的变化关系，本文考虑这一细节，分析了振动衰减信号和噪声信号频谱随采样点数的比例关系，得出当采样点数超过某一临界值时，噪声频谱幅值会高于振动衰减信号频谱幅值，此时将导致阻尼识别精度下降，对所做的分析进一步使用仿真计算及悬臂梁实验进行了验证。

1 理论分析

设存在一工程信号

x(t)=x0(t)+xn(t)

(1)

式中：x0(t)为振动衰减信号；xn(t)为随机噪声干扰信号。

1.1 振动衰减信号频谱分析

振动衰减信号复数形式表示为

(2)

式中：A为信号振幅；n为信号衰减系数；ωd为有阻尼固有频率。为方便分析，将相位角φ取值为零。

对x0(t)做傅里叶变换，当频率ω=ωd时，振动衰减信号取得频谱幅值，其傅里叶变换可以表示为

(3)

(4)

采样时间T，采样频率fs与采样点数N存在以下关系

(5)

将式(5)代入式(4)，振动衰减频谱幅值可以表示为

(6)

分析式(6)可知该函数为单调递减函数，当nT取值为4.6时，e-nt值为0.01，即(1-e-nt)≈1，故当T≥4.6/n时，振动衰减信号频谱幅值为

(7)

1.2 噪声信号频谱分析

对噪声干扰信号xn(t)作时域-频域转换，得到噪声干扰信号的幅频关系。设工程信号中的噪声干扰信号xn(t)服从正态分布N(0,σ2)，记为向量xn，将噪声向量xn与傅里叶变换基向量ek进行内积运算[14]，结果表示为Z(ω)

(8)

分析式(8)，噪声干扰xni为服从正态分布的随机信号，且独立正态分布随机变量的线性组合仍然具有正态分布的特性[15]，故Z(ω)是一个服从正态分布的随机函数。对Z(ω)的实部求期望得

(9)

噪声干扰信号xni服从正态分布N(0,σ2)，即E{xni}=0，可得其实部的期望值也为零

E{Re(Z(ω))}=0

(10)

对Z(ω)实部求方差得

(11)

由统计学分析知，服从正态分布N(0,σ2)的随机噪声xn，当i≠j时

E{xni·xnj}=0

(12)

当i=j时

(13)

将式(12)、式(13)代入式(11)，化简得

(14)

(15)

(16)

1.3 噪声对阻尼识别的影响

(17)

2 模拟及计算分析

为了更清晰的反映采样长度对阻尼识别的影响，使用模拟仿真对其进行了计算分析。给出一受噪声污染的信号

x(t)=2e-ntcos(ωdt)+xn(t)

(18)

阻尼识别结果如表1所示。从阻尼识别结果看，相比之下内积法阻尼识别精度较半功率带宽法高；两种阻尼识别方法都在2 000采样点附近有较高的识别精度；两组阻尼识别结果的相对误差都存在先减少后增大趋势。说明并非采样点数越多，阻尼识别精度越高。

表1 仿真计算阻尼识别结果Tab.1 Damping recognition results of simulation

图1为采样点数分别为500点、2 000点、8 000点和32 000点时信号x(t)所对应的频谱图。由x(t)的频谱图分析可得，当采样点数为500点时，采样时间T为0.25 s，小于4.6/n，此时截断误差大，导致阻尼识别结果误差较大。采样点数为2 000点时，此时采样点数增大，采样信号的截断误差减小，且噪声信号对真实响应信号干扰较小，阻尼识别结果误差小。采样点数为8 000点时，噪声信号对真实响应信号干扰开始增大，阻尼识别结果误差增大。采样点数为32 000点时，此时采样点数已超出由式(17)计算得出的临界采样点数31 304点，噪声信号对真实响应信号干扰大，阻尼识别结果已经偏离实际值。

图1 信号x(t)频谱图Fig.1 Signal x(t)spectrum diagram

3 悬臂梁阻尼测试实验

工程应用中很多结构都可以简化为梁式结构，而悬臂梁结构是其中常见的类型。从工程应用角度出发，选取了悬臂梁结构做阻尼测试实验。实验装置图如图2所示。选取一根钢质悬臂梁，其具体的参数为：悬臂梁长宽高分别为1 000 mm，50 mm和14 mm；悬臂梁固定端用螺栓和压板紧固在试验台架上，用铜质力锤锤击悬臂梁，通过安装在末端的加速度传感器测得自由端振动信号。

图2 实验装置简图Fig.2 Experimental device diagram

对自由端振动信号进行数据采集，采样频率为5 000 Hz。采样点数为5 000点时，其信号频谱图如图3所示。由图可看出悬臂梁响应信号模态主要有六个，分别为约10 Hz，约60 Hz，约200 Hz，约400 Hz，约600 Hz及约900 Hz。此处以约200 Hz模态为例，采用半功率带宽法和内积法进行阻尼识别。

图3 悬臂梁响应信号频谱图Fig.3 Cantilever response signal frequency spectrum

分别以5 000点和25 000点采样点数对约200 Hz模态进行阻尼识别，结果如表2所示，不同采样长度对应的阻尼识别结果有差别。

表2 悬臂梁200 Hz附近模态阻尼识别结果Tab.2 Damping identification results of the cantilever beam modal near 200 Hz

为确定准确的阻尼值，识别出该模态参数后，以此参数构造出阻尼识别信号，并从总信号中将此估计信号减去，当识别结果准确时，剩余信号频谱中对应频率附近能量变得很小，剩余频谱图里观察不到明显峰值。仿真算例已经验证内积法相比与半功率带宽法有着更高的识别精度，此处以内积法为例，分别将5 000采样点和25 000采样点时所识别出的约200 Hz模态信号从原信号中减去，剩余信号频谱如图4所示。从图4可知，采样点数为5 000点时，减去识别阻尼信号后，剩余信号200 Hz附近观察不到明显峰值，此阶模态信号已被剔除；采样点数为25 000点时，减去识别阻尼信号后，剩余信号200 Hz附近仍然可以观察到明显峰值。

图4 悬臂梁200 Hz附近剩余信号频域对比图Fig.4 Remainder signal contrast frequency domain diagram near 200 Hz of the cantilever beam

由悬臂梁阻尼识别实验可以看出，当采样点数为5 000点时，此时阻尼识别精度已经很高，模态信号能够被准确识别出；采样点数继续增加到25 000点，此时受噪声干扰影响增大，误差反而增大，阻尼识别结果不够准确，故增加采样点数不一定能提高阻尼识别精度，进一步验证了本文的结论。

4 结 论

(1)当傅里叶积分时段趋近于无穷时，噪声频谱期望值为零，但是其实际发生值不是期望值，而是主要在零与三倍标准差之间浮动，对阻尼引起的振动衰减信号的识别不能忽略噪声频谱实际发生值对振动衰减信号的影响，根据期望值为零得到采样点数越多识别结果越精确这一观点不适合于阻尼诊断。

(2)适当增加采样点数可以提高阻尼的识别精度，但采样点数并不是越多越好，采样点数超过临界值取值会导致诊断出的结果与理论值误差不降反升。

(3)通过仿真计算及悬臂梁结构敲击实验表明采样点数过多时阻尼识别精度反而降低，验证了本文的理论分析。建议阻尼识别采样点数不超过临界值取值，为工程应用中采样点数的选取提供参考。