基于三角形全等判定与正、余弦定理的跨学段单元教学设计*

首都师范大学教师教育学院(100080)张洁 张晓龙

一、问题的提出

数学教材的编写方式呈螺旋上升,知识的纵向和横向发展都是循序渐进的,因此,即使是跨学段的知识之间也存在本质的联系.若学生能掌握知识之间的联系,那么不但能促进知识的理解,更有助于学生建构知识体系.例如,高中必修五中解三角形中的正弦定理和余弦定理,其中部分内容是正、余弦定理分别能够解决怎样的解三角形问题,例如：一个一般三角形,已知它的三条边,利用余弦定理可以解这个一般三角形.但是,一个一般三角形,已知它的两条边及其中一条边的对角,利用正弦定理得出的解不是唯一确定的,需进行验证.同时,在初中三角形全等的判定教学中,教师们一般会用反例证明SSA 不是三角形全等的判定之一.这两者之间联系的本质是一个非特殊三角形最少已知哪些元素可以唯一确定,这也是正弦定理和余弦定理所能解决的解三角形类型和三角形全等的判定中的内容一一对应的原因.因此,可以说这两部分内容密切相关,且联系两者的纽带是“三角形全等的判定内容的本质”.

看似分散的知识,如果掌握其本质就可以使得学习事半功倍.笔者访谈了部分学生(其中含有高中学生),发现学生可能存在没有深刻掌握上述本质的情况.例如,访谈中一个问题是“关于三角形全等的判定,你有什么理解? ”学生的绝大多数答案都是将判定定理局限在两个三角形中.但事实上,只要是满足判定定理条件的三角形都是全等的,显然,很多学生对本质的理解不够深刻.若学生掌握了判定定理的本质,对学习正弦定理和余弦定理会有很大的帮助,且能通过本质将知识串联起来,有助于学生对知识进行建构,加深理解.

希望本文能够帮助大家进一步深入了解三角形全等的判定本质,以及它和正弦定理及余弦定理的内在关系,给教师和学生提供一个教与学的新思路.

二、教学策略及意义

单元教学是将教学内容放在整体中去把控,更多地关注教学内容的本质和知识之间的内在逻辑联系.对于改变教师和学生过分关注独立的知识点,帮助他们建立相关知识之间的联系有重要作用.[1]根据上文已分析过的三角形全等的判定和解三角形中正弦定理及余弦定理之间的内在联系,可以以其本质为主线组成一个单元教学.此外,考虑到正弦定理和余弦定理公式的推导部分,可将锐角三角函数也加入其中.因此,本文将试图构建一个以三角形全等的判定、锐角三角函数、解三角形中的正弦定理及余弦定理为主要组成部分的单元教学.此单元教学是跨学段的,且有的部分跨越时间较长.此单元可用于初中或高中学段.例如,初中阶段可以针对相关内容提出发散性的问题,引导有兴趣的学生去拓展学习内容,即使学生没有去自学,也埋下了一颗种子;高中阶段也可以回顾初中涉及的知识,可以巩固并联系相关的本质内容.这样的一个单元教学设计,既可以突出知识的本质内容,又可以加强相关知识间的内在逻辑联系,对学生深入理解本质和学生及教师对教学内容的整体把握有着重要作用.

三、课标要求的解读与单元教学目标

此单元教学内容包括三角形全等的判定、锐角三角函数和解三角形中的正弦定理及余弦定理,下文将先分别对这三部分的课标要求进行解读,然后阐述整个单元教学的教学目标.

1.对课标要求的解读

(1)对一般三角形来说,三角形全等的判定有四条(SSS,SAS,ASA,AAS).课标对前三条的要求是掌握基本事实,然后证明AAS.数学家把繁杂的公理验证之后,将深奥的理论通过简单的表达,让我们学习,但是,直接给学生介绍成熟的数学结论,不但容易使学生不认可、不信服,还导致学生失去了很好的体验数学思维过程的机会.

(2)对锐角三角函数来说,课标要求利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanB).对本文单元教学的主线来说,锐角三角函数只是一个工具的角色,故不作赘述.

(3)对正弦定理和余弦定理来说,课标要求学生在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形边长与角度之间的数量关系.[2]此部分要求培养学生的探究能力,意在使学生感受数学结论形成的过程,培养学生的数学核心素养,发展学生的数学思维及逻辑推理能力.但是,学生可能由于缺乏相关知识的联系,导致各部分知识相互独立.

2.单元教学目标的阐述

容易发现不少学生学习三角形全等的判定后,虽然能够在解题中熟练地使用定理,但是提到三角形全等的判定,第一反应是局限在两个三角形中.说明学生没有深刻掌握其本质.作为一个单元教学,除了知识本身的本质之外,知识之间的本质联系是必不可少的,故本文的单元教学目标从以上两方面进行阐述.

(1)在已有知识的基础上,通过对三角形中元素的组合,探究至少几组元素对应相等,可以判定两个三角形是一定全等的,进而掌握三角形全等的判定的本质：至少确定哪些元素就可以唯一确定一个三角形.

(2)学习正弦定理和余弦定理时,在已有知识的基础上,结合锐角三角函数,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系.进而探究正弦定理和余弦定理与三角形全等的判定之间的内在联系,加强知识之间的本质联系.

(3)在探究中发展数学思维,掌握知识本质,并能依据核心数学本质建构知识体系;锻炼逻辑推理能力,感受数学结论的形成过程;促进学生积极思考,不局限于教材上所展现的和教师所讲授的,能够进行自主性、创造性地学习.

四、学生课堂学习中存在的问题

1.缺少探索过程

在三角形全等的判定部分,课标对学生的要求是掌握三个基本事实并证明判定定理中的一个,没有提及探索的过程.教师在讲课过程中会出现不重视学生探索的过程,或者是没有抓住探索过程中需要升华或强调的点,从而导致学生没有深刻理解数学知识的本质.

2.不能准确抓住知识本质

笔者经过访问调查,发现很多学生说起三角形全等的判定时,思维限定在两个三角形之间,说明学生仅仅是记住了教材中的定理内容,并没有深入知识,抓住本质.导致学生不但对这一节知识掌握地不透彻,还会影响与其本质相关知识的理解与掌握,形成连环反应.

3.缺乏建立相关知识间联系的能力

建立相关知识间的联系需要三点：(1)掌握知识的本质.只有准确地掌握了知识的本质,才能真正建立以核心数学本质为主线的知识体系;(2)积极思考.知识间的联系很多不是显而易见的,需要仔细琢磨,积极思考,在思考的过程中就会有很大收获,一旦得到正确的结论,必定受益匪浅; (3)教师的正确引导.对于中学生来说,找到知识间的联系是有困难的,需要教师的适当引导,帮助学生探索寻找方法并发现知识的内在本质联系.

五、设计教学流程

本文以单元教学为载体,其中包含三个内容,分别是三角形全等的判定,锐角三角函数,解三角形中的正弦定理和余弦定理,在单元教学目标的指导下,分别说明每一学段的教学流程.

1.初中学段

三角形全等的判定

(1)引入：以简化得到结论的条件为目的.

根据全等三角形的定义,两个三角形满足三条边和三个角分别相等,就能判定这两个三角形全等.但是这六个条件中,有些条件是相关的,可以进行条件简化.说明前提之后,就可以引出要探究的课题：两个三角形中,至少有哪些元素对应相等可以保证这两个三角形全等?

以两个三角形为例做比较,可以帮助学生理解和操作,但同时也容易使学生把定理内容局限在两个三角形之间,因此探究过程要注意并避免这一点.

(2)探究过程：

学生在学习三角形全等的判定时,很容易把真假结论混淆,例如,很多学生在考试中把SSA 当作判定之一,原因在于教师把判定定理作为基本事实讲授时,没有让学生真正认可这些结论.如果希望学生认可正确的结论,就要让他们经历否定错误结论的过程.

探究从一组元素开始,一组元素有两种情况,一组对应边,一组对应角.以一组对应边为例,现有一个△ABC,要求AB=3cm,画出△ABC.全班一起画,然后同桌两人进行对比.两组元素有三种可能,两组对应边,一组对应边及一组对应角,两组对应角.以两组对应边为例,现有一个△ABC,要求AB=3cm,BC=4cm,画出△ABC.经过同学实际画图之后,发现两个三角形之间,一组元素或两组元素对应相等不能保证这两个三角形是全等的.三组元素有六种情况,三组对应边,两组对应边及一组对应角(两边及其中一边的对角,两边及其夹角),一组对应边及两组对应角(两角及其中一角的对边,两角及其夹边),三组对应角.以三组对应边为例,现有一个△ABC,要求AB=3cm,BC=4cm,AC=5cm,画出△ABC.为了避免让学生认为是一组特殊值产生的巧合,再给出一组数据,再次进行验证,可以发现不但同桌之间画的三角形是全等的,班级上任意两个人画的都是全等的.此时似乎可以发现,对一个三角形来说,只要确定它的三条边,这个三角形就唯一确定了.更进一步,为了让学生认识到,这个条件对任意数据来说都是成立的,可以让同桌二人中一人随意画一个三角形,测量出该三角形三边长度,另一人根据数据画出三角形,由此,可以得出较有说服力的结论,若三角形三条边的长度确定了,这个三角形就唯一确定了,所有满足这三条边长度的三角形都是全等的.

为什么上面说是较有说服力的呢? 根据波利亚所说,我们在探究三角形全等的判定定理时,“三边分别相等的两个三角形全等”这个结论的正确与否是需要我们验证的,我们在探究过程中所进行的每一次验证都是该结论的一种情况,每一次验证的正确性都增加了结论的可信性,但是因为我们不能穷尽所有的可能性,所以每一次验证都只是使结论更加地可靠.[3]这样的探究过程无疑要花费很多时间,卢梭说过,“最重要的教育原则是不要爱惜时间,要浪费时间.”要舍得浪费时间让学生学会猜想,学会推理,学会提出问题,而不是一味地接受知识,只是善于记忆.[4]

(3)延伸

所有结论得出后,教师可以提出一个问题,例如,对斜三角形来说,给出这四种条件,就可以得到一个形状、大小确定的三角形,也就是说,除了已知的三个元素外,另三个元素也是确定的,大家可以研究下怎么根据已知的三个元素求解另三个元素.给所有学生埋下一个种子,也给有兴趣的学生提供一个思路.

在探究过程中,涉及一些尺规作图,与本文主线没有过多联系,不作赘述.

2.高中学段

(1)锐角三角函数

利用相似三角形,探究并认识锐角三角函数.这一部分跟本文单元教学主线关联不大,只是作为解直角三角形和正弦定理及余弦定理公式推导的工具,故不作具体说明.

(2)解三角形中的正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理所处的章名是解三角形,在进行这一章之前让学生了解正弦定理和余弦定理是解三角形的工具是有必要的.

①正弦定理

i 引入

引导学生总结,在所学的知识中,涉及斜三角形的内容.一共三条：第一,三角形内角和为180°;第二,大边对大角,小边对小角;第三,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.这节课的目标是针对第二条,把三角形中角的正弦值与边的关系进行准确量化表示.

ii 探究

在△ABC中,已知∠A所对的边BC长为a,∠B所对的边AC长为b,∠C所对的边AB长为c,探究三个角的正弦值与边长的数量关系.

面对一个一般三角形,无法直接得到它的边角关系,所以,我们先考虑直角三角形这个特殊情况.在Rt△ABC中,∠C= 90°,要考虑角的正弦值与边的关系,涉及到锐角三角函数,通过推导得到公式然后验证公式对锐角三角形和钝角三角形是否也成立,最后得出正弦定理及公式.接下来,分析利用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题? 通过分析,可以解决三类问题,第一,已知三角形的任意两角及其夹边;第二,已知三角形的任意两角及其中一角的对边;第三,已知三角形的任意两边及其中一边的对角.结合例题分析发现,前两类解三角形时可以得到唯一的解,但是第三类的解是不确定的.如教材中的一道例题：

例在△ABC中,已知a= 20cm,b= 28cm,A= 40°,解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm).

解根据正弦定理,0.8999.因为0° ＜B ＜180°,所以B ≈64°,或B ≈116°.

(1)当B ≈64°时,C= 180° -(A+B)≈180° -(40°+64°)=76°,c=≈30(cm);

(2)当B ≈116°时,C= 180° -(A+B)≈180° -(40°+116°)=24°,c=≈13(cm).

根据例题可以发现,给定三角形的任意两边及其中一边的对角不能保证得到唯一的三角形,而已知三角形的任意两角及其夹边或者三角形的任意两角及其中一角的对边就可以得到唯一的解,分析到这,大多数学生都能联想到三角形全等的判定了.根据三角形全等的判定的本质,AAS,ASA 可以唯一确定一个三角形,而SSA 则不能,显然,正弦定理又一次验证了这一点.所以,正弦定理是对AAS、ASA 和SSA 的数量化表示,只是SSA 需要额外进行验证.

②余弦定理i 引入

已经发现解三角形与三角形全等的判定之间的联系,那么自然就猜测余弦定理可以把三角形全等的判定中剩余的SAS 和SSS 进行数量化表示,带着猜想进行探究.

ii 探究

例如已知一个三角形的两条边及其夹角,解这个三角形,我们先考虑求出它的第三条边,△ABC如正弦定理中.不论用几何法,还是向量法等,都可以得到余弦定理的公式a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.以及它们的推论

根据余弦定理的公式及推论,发现恰好是SAS 和SSS的数量化表示,依据三角形全等的判定,它们解三角形都只有唯一的解,在做题的过程中发现也确实如此.

笔者认为,会做题是最基本的,重要的是能让学生理解知识的本质,进而联系相关的知识,形成体系,而更重要的是在探索的过程中学到的东西,也就是忘记了公式、定理和概念之后,还留下的内容,也就是思想.

本文试图通过此跨学段的单元教学设计启发更多有能力的人自己思考,供同仁商榷.