基于历史发生原理下的初中函数概念教学*

江苏省扬州大学数学与科学学院(225000)徐理宜 陈算荣

1 初中函数概念教学现状

函数是对变化过程中两个变量之间依赖关系的刻画,是一种常见的数学模型,很多数学知识都是以函数概念为基础而发展的.因此函数在数学发展过程中起着十分重要的作用,而函数概念本身十分抽象,初中函数概念是初中遇到的第一个用“数学关系概念定义法”给出的概念,要懂得它的本质(对应关系)对于初中生来说是比较困难的,正因为如此,现在很多初中生在学完函数概念后并不清楚函数的本质是什么.对“函数是不是数”、“函数是不是一定有解析式”等问题,很多学生在学过函数概念后根本给不出正确的回答.

2 历史发生原理

事实上,学生在数学学习过程中的个人认知障碍与科学知识的发展过程中所遇到的障碍具有很高的相似度[1].让学生经历、体验数学概念、公式、定理的发展、发现过程的重要环节,有助于学生跨越学习中的思维障碍,更好地掌握和理解概念的本质,这也是基于历史发生原理的教学的初衷和内涵.

3 函数概念发展简史

著名数学家莱布尼茨是最早使用“函数”一词的人,他当时仅用函数表示曲线上的点或线,经过半个世纪的发展,到18世纪中期,数学家欧拉发现了变量之间有相互依赖的变化关系,于是他指出函数可以用解析式表示,到18世纪后期,人们都没有跳出函数一定有解析式的思维圈.直到1821年,法国的数学家柯西重新给函数下了定义,他说当给定某个变量一个值,其他变量的值就被确定的时候,我们可以想象这些其他被确定的量都跟最开始的变量是有关的,于是他就给最开始变化的量取名为自变量,而随着自变量的确定而随之确定的其他量叫做这个自变量的函数[1].这时候他指出函数并一定要有解析式.他所给出的定义与我们今天初中教科书的函数概念就极为相似了,20世纪初布尔巴基学派用集合论的语言重新描述了函数的定义,与我们今天高中教科书上的函数概念对应.函数概念先后经历了“几何说”、“变量说”、“对应说”、集合说”的发展.

4 基于历史发生原理下的初中函数概念教学(片断)设计

4.1 引入环节

用几何画板动态展示在直角坐标系中的曲线上找一点,只要给出这个点的横坐标,这一点就会在曲线上被确定下来,也就是说这一个在曲线上的点的纵坐标会随着横坐标的确定而确定.通过展示PPT,阐述函数一词,最初是在德国数学家莱布尼茨1673年的手稿里使用的,但它仅表示关于曲线上的点的横坐标和纵坐标,以及一些线段(如弦、切线、法线等).接下来设置悬念：经过几个世纪的发展,我们今天所要学习的函数的概念是到底是怎么样定义的呢? 接下来我们一起来探究.

设计意图用几何画板动态展示要在直角坐标系中的曲线上找一点,只要给出这个点的横坐标,这一点就会在曲线上被确定下来的现象是为了给学生函数的初体验,并不要求学生完全理解.但是可以由这一活动引出函数概念的发展史,并引发学生对函数概念的产生的强烈的好奇心.

4.2 探究环节

在数学史上,数学家们对函数认识经历从“几何说”到“解析式说”再到“对应说”的发展,根据函数的历史发生过程,设置如下三个问题探究：

问题一气象站测得某市某日气温变化图如图1所示,请学生思考：

(1)在这个变化过程中,哪些量是变量?

(2)你能说说这些变量之间有什么关系吗?

图1 某市某日气温随时间变化图

问题二汽车以100km/h 的速度在一条笔直的公路上行驶,

(1)1 小时后,汽车行驶的路程为____;

(2)2 小时后,汽车行驶的路程为____;

(3)t小时后,设汽车行驶的路程为y千米,则y=____.

思考：

(1)行驶路程随____的变化而变化,即y随____的变化而变化;

(2)当行驶时间t取定一个确定的值时,对应的行驶路程y的取值是否唯一确定?

问题三下面表1是近几年某市某一中学的入学人数统计表,请根据前面两题的解法,回答：

(1)在这个变化过程中,哪些量是变量?

(2)你能说说这些变量之间有什么关系吗?

表1 某市一中学近六年来入学人数统计

设计意图选取来自于实际生活中的三个例子有多重意图.首先,这些贴近学生生活实际的例子很容易将学生带入课堂并且能使其迅速进入思考状态,通过挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题,让学生经历探索具体情境中两个变量之间对应关系的过程,直接获得探索变量关系的体验.其次,学生对于函数概念认识的初级阶段跟当年大多数数学家一样,以为函数必须要有解析式,否则就不是.而问题一中的图,问题三中的表的例子就给了学生直观的冲击,虽变量间写不出解析式,但仍有依赖关系,这些也都是函数,由此更加深刻地揭露了函数概念中对应的本质思想.再者,只要教师稍做引导,学生就能从上述的三个实例发现函数的表示方法有解析式法、图象法、列表法三种,让学生这样有依据地发现归纳知识更加有利于学生认知结构的良好建构.

4.3 生成环节

教师可以利用PPT 再现以上三个问题,并提问,上述三个问题都取材于我们的生活,根据我们刚刚的探究,想一想它们有什么样的共同特征? 多数学生会发现以上三个问题中都是含有两个变量,并能指出两个变量之间的关系是当一个变量变化时,另外的一个量都有唯一的值与之对应.教师可以顺着学生的回答引出函数的概念,生活中还有许许多多存在着这样的规律的例子,我们可以用函数来刻画它们的共同特征,一般地,在一个变化过程中的两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,x是自变量.

通过这样一个探究—发现—归纳概括的过程,让学生体验到函数概念的核心就是在刻画两个变量之间的关系,所以函数并不是一个数.三个实例也从侧面让学生了解到函数三种表示方式,因此并不一定都有解析式.通过上例不难看出,基于历史发生原理下的概念教学,一方面可以激发学生的学习兴趣,帮助学生理解概念的本质内涵,另一方面,让学生了解概念的历史发展过程,体验到数学家们一步步解决困境的智慧和科学概念发展的艰难曲折,可以增进学生数学情感体验,促进学生核心素养的发展.中学中有许许多多抽象的概念都有其“成长历程”,了解概念背后的历史,将“它的故事”带入数学概念教学的课堂,能使概念的种子深入人心,并能生根发芽.