2-维Ginzburg-Landau方程的一种混合有限元方法的高精度分析

李庆富,王俊俊

( 平顶山学院数学与统计学院,河南 平顶山467000)

1.引言

考虑如下2维Ginzburg-Landau方程：

其中Ω ⊂R2是一个边界为∂Ω的矩形,0

非线性Ginzburg-Landau方程的有限元方法被很多学者专家所关注.例如,文[1-2]研究了一个非线性耦合形式的Ginzburg-Landau方程,其中文[1]研究了其半离散和隐式Euler全离散格式,文[2]提出了一种线性化的CN格式,二者都得到了最优误差估计.文[3]给出了(1.1)有限差分的收敛结果,避开了数值解的估计,利用数学归纳法证明了其格式在L2(Ω)-模下的误差估计.文[4]针对(1.1)给出了三种线性化的差分格式,接着研究了该方程的平面波解,并得到了三个格式的截断误差.

混合有限元方法虽然对空间要求光滑度较低,并能同时得到原始变量和中间变量数值解等优势,但需要满足所谓的LBB条件,这通常不是一件容易的事.为了降低空间选取的难度,文[5]对二阶椭圆问题提出了另一种混合元格式.较传统的混合元格式具有以下特点：当空间满足一个简单的包含关系时离散的LBB条件自动满足,自由度少且可避免对矢量有限空间的试探函数进行散度运算等.因此,该格式已被广泛应用在各种方程中[6−10].

本文借用文[5-10]的思想,使用五节点元[11−12]及零阶Raviart-Thomas元讨论了2-维Ginzburg-Landau方程的一种新混合有限元方法.首先给出其半离散的有限元格式,证明了其解的存在唯一性,利用导数转移等技巧得到了其在半离散下的超逼近结果.其次,给出了其一个线性化的Euler格式,有技巧的导出了原始变量u在H1模意义下及流量在L2模意义下的O(h2+τ2)阶的超逼近性质.最后利用一个数值算例验证了理论结果.

2.单元介绍

令Ω是一个矩形,Γh是Ω的一个正则剖分.对于一个给定的Kh∈Γh,记四个顶点和四条边分别为ai,i=1∼4 和li=i=1∼4 (mod 4).相对应的有限元空间分别定义为Vh和：

其中,Qij=span{xrys,0≤r≤i,0≤s≤j}.[vh]表示跨过单元边界F的跳跃值,当F ⊂∂Ω时,容易验证,是Vh上的模.对于u∈H1(Ω),(H1(Ω))2,设Ih:H1(Ω)→Vh和Πh:(H1(Ω))2分别为由Vh和上诱导的插值算子,满足:Ih|K=IK,Πh|K=ΠK及

和

其中是对应边li(i=1,2,3,4)的单位外法向量.有以下引理：.

引理2.1[12]对于任意的(H2(Ω))2,有

令=∇u,则(1.1) 相对应的弱形式是寻找使得

3.半离散超逼近结果

定理3.1问题(3.1) 存在唯一解.

证设和分别为Vh和上的基,则有

其中

由于B是正定矩阵,则对t∈(0,T],(3.1) 存在唯一解.

令

假设(⋆)‖uh‖0,∞<1.

定理3.2令u和uh分别为(1.1) 和(3.1) 的解,若u∈H3(Ω),(H2(Ω))2,我们有

证由(3.1)和(1.1)我们有误差方程：

将其改写为

在(3.6)的第一式中令=∇ξt,在第二式中令vh=ξt,两式相加,取其实部有

显然有

由假设得到

利用导数转移以及文[12]的结论有

综合以上误差,代入(3.7)有

由于ξ(0)=0,两端关于t从0 到t做积分有

利用Gronwall不等式得到

则有

在(3.6)中令=

也即

最后需要说明先验假设(⋆)的正确性.首先,记δ(t)∇(u(t)−uh(t)).有初始逼近和插值理论可知‖δ(0)‖0,∞<1成立.由函数的连续性,在t=0的一个小领域[0,ε]内,定理3.2成立.

如果假设不再整个区间I=[0,T]上成立,设t0=inf{t:‖δ(t)‖0,∞≥1,t∈I},则有‖δ(t0)‖0,∞=1,t0>0(事实上,若‖δ(t0)‖0,∞>1,由函数的连续性,总可以找到一个点t1

由定理3.2的证明过程可以看出其结论在[0,t0]处成立,则由逆不等式,对于充分小的h,有‖δ(t)‖0,∞≤‖∇(u(t)−Ihu(t))‖0,∞+‖∇(Ihu(t)−uh(t))‖0,∞≤Ch‖u‖2,∞+Ch−1‖∇(Ihu(t)−uh(t))‖0≤Ch,t∈[0,t0].选择适当的h0,当h≤h0,有‖δ(t)‖0,∞≤Ch <1,t∈[0,t0].此与‖δ(t0)‖0,∞=1矛盾.所以先验假设(⋆)是正确的.

注3.1由于(3.7)左端没有关于‖ξt‖h的项存在,则在估计项ξt的时候,对(3.10)进行导数转移,将关于t的导数从ξ上转移到上,最终得到关于‖ξ‖h的估计.

4.线性化逼近格式

令{tn:tn=nτ;0≤n≤N}是[0,T]上的均匀剖分,时间步长是τ=T/N,记σn=σ(X,tn),0≤n≤N,定义：利用[14]线性化的有限元方法,寻找使得当n≥1 时,有

令

定理4.1设和分别为(1.1)和(4.1)的解,对任意的m=1,2,...,N,若um∈H3(Ω),(H2(Ω))2,有

证得到误差方程

显然有

由文[13]的高精度结果可以看到

又由于

则有

也就是

另一方面,在(4.4)的第一个式子中,选取=有

因此,存在τ1,h1,C1,使得当τ≤τ1,有

由条件τ=O(h2)得到

其中h≤h2≤1/CC2.

假设(4.3)对于m≤n−1成立,由于τ=O(h2),则存在h3,有

其中h≤h3=1/CC0.

下面我们证明结果对于m=n也成立.由(1.1)和(4.1),

将其变形后有

类似ξ1的证明有

改写B4,再估计有

总结以上的误差结果,对(4.8)从2到n求和,则有

利用离散的Gronwall不等式,有

又由于令=

则存在τ4,h5,C4,使得当τ≤τ4有

由条件τ=O(h2),也有

其中h≤h5≤1/CC4.可以看到C4和没有任何关系,当取和则(4.15) 对m=n成立.至此数学归纳法结束,定理证毕.

注4.1由于文中采用了线性化的全离散格式,当时时刻的时间层分析需要用到上一时刻时间层的结论,因此选择数学归纳法进行证明.为了每一个时间层的结果到最后都应该由一个统一的系数来控制,在证明第n层结果时,需要利用(4.7),而不能直接利用带有C0的归纳假设结果.

注4.2由于(4.8)左端没有关于的项,则对于B3来说,直接估计就会降低最后结果的阶,利用一个分列技巧将τ从内积的一端转向另一端,回避出现项,从而得到最后结果.

5.数值算例

在这一章里,给出一个算例来验证理论部分.考虑(1.1),其中,Ω=[0,1]×[0,1],a1=a2=b1=b2=1,真解为u=etxy(1−x)(1−y).在表格5.1-5.8中,选择τ=5h时刻t=0.25,0.5,0.75,1.0 来分别验证试验结果.可以看到当h→0时,有最优估计阶O(h),最优估计阶O(h2),可以看到所有结果验证了前面理论部分.

表5.1 数值解Unh 在t=0.25的结果

表5.2 数值解Unh 在t=0.5的结果

表5.3 数值解Unh 在t=0.75的结果

表5.4 数值解Unh 在t=1.0的结果

表5.5 数值解在t=0.25的结果

表5.5 数值解在t=0.25的结果

m×mpn−Pnh ‖H(div;Ω) 阶 ‖Πhimages/BZ_89_748_1642_782_1686.pngn−Pnh ‖0 阶4×4 0.03378079483080 — 0.00748816766348 —8×8 0.01698575787882 0.9919 0.00191969829692 1.9637 16×16 0.00850227630890 0.9984 0.00048302136361 1.9907

表5.6 数值解 在t=0.5的结果

表5.6 数值解 在t=0.5的结果

m×m ‖pn−Pnh ‖H(div;Ω) 阶 ‖Πhimages/BZ_89_748_1642_782_1686.pngn−Pnh ‖0 阶4×4 0.03376858013758 — 0.00743287024398 —8×8 0.01698605210408 0.9913 0.00192229990270 1.9511 16×16 0.00850236919353 0.9984 0.00048465359581 1.9878

表5.7 数值解在t=0.75的结果

表5.7 数值解在t=0.75的结果

m×m ‖pn−Pnh ‖H(div;Ω) 阶 ‖Πhimages/BZ_89_748_1642_782_1686.pngn−Pnh ‖0 阶4×4 0.03376851491266 — 0.00743257391232 —8×8 0.01698603311508 0.9913 0.00192213210266 1.9512 16×16 0.00850236757636 0.9984 0.00048462522470 1.9878

表5.8 数值解在t=1.0的结果

表5.8 数值解在t=1.0的结果

m×m ‖pn−Pnh ‖H(div;Ω) 阶 ‖Πhimages/BZ_89_748_1642_782_1686.pngn−Pnh ‖0 阶4×4 0.03376851775874 — 0.00743258684292 —8×8 0.01698603303400 0.9913 0.00192213138609 1.9512 16×16 0.00850236755676 0.9984 0.00048462488080 1.9878