奔驰定理的应用与推广

安徽省合肥市第一中学 (230601) 谷留明

向量兼具代数与几何的特征,是联系起代数与几何重要桥梁．关于向量的线性表示与三角形面积的比值的问题,经常在段考、高考、自主招生考试、竞赛等考试中出现,且往往是选择题、填空题中的较难题,学生的解答情况一般不是很好.其主要特征是：已知三角形内任意一点,给出相关向量的线性表达式,然后求相关三角形面积比,或者反过来设问．下面通过前两道引例的求解和思考,总结出一个定理并证明,然后此定理解决引例3和4,最后对此定理进一步推广.

从以上两个引例的分析过程和结果,发现相关面积之比与相应向量的系数有巧妙的规律.由此经过归纳,猜想可以证明以下定理.

用分析引例1和2中的方法均可以证明上述猜想是正确的,这里不再赘述.

这是一个非常巧妙的结论,因为其对应的图形与奔驰轿车logo非常相似,可形象地称之为“奔驰定理”.

用定理1,引例1和2直接得解.用这两个定理,可得到引例3和4的巧妙解答.

1-λ-μ和λ趋近于0,从而μ趋近于1,λ+2μ趋近于2.综上所述,λ+2μ∈(0,2).

定理中点O在三角形边上或外部,会怎样呢？

推广1 设O是△ABC所在平面内一点,且有

用分析引例1和2中的方法仍可以证明上述推广结论.

注1：点O在△ABC的边所在直线上(不含顶点)时,x，y，z中有且仅有一个为0.比如点O在直线AB上(不含顶点)时,必有z=0,xy≠0.此时,SA∶SB=|x|∶|y|,SC=0.

注2：点O在△ABC的顶点时,x，y，z中有两个为0.比如点O在顶点A时,必有y=z=0,x≠0.此时,SB=SC=0,SA=S.

以上定理和推论是二维平面中的结论.在一维直线和三维空间中又会有何类似的结论呢？

这个结论显而易证,且与定比分点公式紧密相关.