一道椭圆的离心率问题引发的探究与思考

摘 要：椭圆的离心率是高考数学的高频考点，因此，在高考复习备考的过程中备受教师、学生的关注。笔者所在学校近期举行了高三年级第六次月考，试卷中有一道求椭圆离心率的填空题。笔者在试卷讲评过程中围绕这一问题，组织学生开展了激烈的讨论，也在集体备课的过程中和本组教师做了深入的交流，精彩纷呈。笔者利用这节课的内容重新对椭圆离心率的解法做了一个归纳、整理，整理成文，与读者分享。

关键词：椭圆;离心率;归纳;方法;变式训练

一、 月考试题

椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点F（c，0）关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是    。

解析：令Q的坐标为（x0，y0），FQ的中点为Mx0+c2，y02，由点M在直线y=bcx上得bx0-cy0+bc=0 ①。

又因为直线FQ垂直于直线y=bcx，所以y0x0-c=-cb，即cx0+by0-c2=0 ②，联立①②得点Q2c3-a2ca2，2bc2a2，把点Q的坐标代入x2a2+y2b2=1中并化简得a6=4c6+a4c2，两边同除以a6得4e6+e2—1=0，令t=e2，则0

学生答题时存在的问题：

1.

解题策略不明。没有基本的解决椭圆离心率的方法，直接利用离心率的公式完成，也没有想到齐次式，还浪费了很多的时间。

2.

数形结合的思想不强。部分学生虽然画了图，求出了Q的坐标，但由于本题出现了六次方，大多数学生认为这是高次方程，一下子乱了思路，没有找到化高次为低次的一般思路和方法，导致求解没有进行到底。

3.

心理准备不足。椭圆离心率是高考的常考点，一般是有两种解决的方法，近几年的高考试题难度在下降，但是学生平时的学习中没有总结方法，看到离心率的问题就紧张，大脑一片空白，没有办法只能放弃。

二、 椭圆离心率的几何意义

椭圆的离心率e是反映椭圆的扁平程度的一个几何量，当e越接近于1时，c越接近于a，b越接近于0，椭圆越扁;当e越接近于0时，c就越接近于0，b越接近于a，椭圆越圆;当e为0，即c=0时，椭圆就变为圆（即e越小，椭圆越圆）。

三、 求椭圆离心率的常用方法

方法一：用定义求离心率

例1 （2016·全国Ⅲ，11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

（  ）

A. 13B. 12C. 23D.

34  分析：设M（-c，m），则E0，ama-c，OE的中点为D，则D0，am2（a-c），又B，D，M三点共线，所以m2（a-c）=ma+c，a=3c，e=13。故选择A。

变式训练：F1，F2为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交椭圆于点P，且∠PF1F2=30°，则椭圆的离心率为

（  ）

A. 33B. 22C. 12D. 32

反思：求椭圆的离心率，关键是寻找一个关于椭圆的三个基本量a，b，c间的关系式，再结合a2=b2+c2，消去b2从而转化为关于a，c的方程求解。

方法二：根据题设条件构造关于a，c的齐次式求解

一般思路：ma2+nmac+pc2=0m+nm·ca+pca2=0

例2 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若三角形F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为    。

[解法一]

由于ΔF1PF2为等腰直角三角形，故有F1F2=PF2，得2ac=b2=a2-c2即e2+2e-1=0，解得，e1=-1-2（舍去），e2=-1+2。

[解法二]

e=离心率的定义ca=2c2a=椭圆的定义2c|PF1|+|PF2|=2c22c+2c=12+1=2-1。

反思：通过一题多解，让学生学会从多角度分析解决问题，提高学生的发散思维能力，利用数形结合的几何特征列式计算。另外在平时的教學过程中一定要发挥好总结题型思想方法的好习惯，引导学生多思考、多总结，从而提升自己的解题能力。

四、 结束语

通过总结一类问题的方法，使学生知一法而通一类，提高学生的思维深度和广度，同时也是培养学生“把书读薄”的重要途径。通过这样的教学，使教材中的难点分散，结合图形，给学生直观感受，使学生较好地接受和掌握椭圆的离心率的性质，也能进一步掌握椭圆离心率的应用，增强教学效果，提高数学教学成绩，真正让学生被动接受数学知识变主动学习。

作者简介：

胡彦红，甘肃省白银市，甘肃省会宁县第一中学。