基于不同租期下的预防性维修优化策略

郁 宝 琪

(上海理工大学 管理学院，上海 200093)

0 引 言

随着科学技术和生产力水平的发展，设备的更新速度越来越快，设备的成本和维修费用也随之增加。企业为了减少生产成本、设备购置费用、日后的设备维修费用等多种费用的开支，转而去租赁市场租赁设备。一种以设备租赁代替设备购买，以企业租赁为主的租赁维护正在制造服务业快速发展[1]。为了扩大租赁市场的规模，吸引更多的承租者，学者们提出了各种对租赁设备的优化策略。Jaturonnatee等[2]研究了租赁设备期望成本最小的顺序预防性维修策略。李林[3]在考虑租赁维护的故障惩罚机制和修复非新效果的基础上，建立了一种设备租赁期限与顺序预防性维护策略的联合优化模型。杨爱峰等[4]考虑了对租赁设备进行不定期的预防维修且每次进行相同的维修强度模型，建立了利润最大化的预防性维修方案。Yeh 和Chen[5]提出了基于故障率分布为Weibull分布的租赁设备周期预防维护策略模型；Yeh 等[6]还研究了关于租赁设备两阶段的周期预防维护策略[6]。吴常洁等[7]对租赁设备，考虑了双向故障惩罚机制的周期性预防维修决策。董克和吕文元[8-10]针对旧设备的特殊性，提出了周期性预防维修决策。胡飞，宗群[11]提出来出租人需要承担惩罚成本的周期性预防维修决策。金琳等[12]研究了以出租方维修成本最小为目标的等周期和变周期相结合的多阶段预防维护模型。以上研究都是针对单设备租赁，也没有考虑客户的满意度，事实上，当维修服务质量高于客户的满意度时，会使得出租方迎来更多的顾客，对此董克和吕文元[13]，提出了一种考虑客户满意度的可变大修维护策略模型。张云正等[14]研究了多设备租赁条件下基于服务质量评估的预防性维修策略优化模型。现有文献对租赁设备的维修策略研究，考虑的预防性维护成本主要是常数和线性函数，但是，在日常生活中，预防性维护成本也可能是非线性函数。对此，董克和陈圆圆[15]提出了一种预防维护成本为非线性形式的租赁设备等周期预防维护策略模型。由此可知，学者们很少研究不同租期的租赁设备的预防性维修策略。在前人的基础上，旨在研究不同的租期的租赁设备，在研究不同租期的租赁设备的同时，将服务质量考虑到模型中，建立了出租方的利润模型，优化了故障率阈值θ，利用遗传算法来优化了修复程度δ和不同租期下的维修次数nj，以使出租方的利润最大。

1 模型参数与假设

1.1 模型参数

CΛ：发生故障的单位成本

Cr：小修开销的单位成本

Tm：小修时间

τ：小修维修时间的阈值

Cτ：小修超时的单位罚金

r(t)：设备的故障率密度函数

Lj：设备的第j(j=1,2,…,k)种租期

ti：预防性维修的时刻(i=0,1,…,nj)

δ：预防性维修的修复程度

nj：第j种租期的预防性维修次数

Λj：第j种租期的故障次数

Fs：客户的主观期望，服从N(μs,σs)

lj：租期为j的客观服务绩效

Sf：客户的满意度阈值

αj：租期为j的潜在客户数

W：单位租金

V：设备的购置价

Vd：设备退役时的净残值

td：设备的寿命

Cpm(δ)：预防性维修的单位成本

E(TR)：租赁商的总收入

E(TC)：租赁商的总支出

E(TP)：租赁商的总利润

1.2 模型的假设

在以下条件下成立：

(1)设备发生故障后，对设备进行小修，相对于租赁时间，小修的时间和预防性维修的时间可以忽略不计。

(2)当设备的故障率达到θ时，进行一次预防性维修，且每次修护程度都为δ，其中δ≤θ。

2 模型建立

2.1 惩罚成本

租赁商为了减少企业内部购置固定资产的成本开支选择租赁设备，在设备投入生产的过程中，由于种种原因设备会发生故障，如果出租方对设备修理不及时，以及在规定时间内没有完成修复工作，都会造成租赁商的经济损失，因此，出租方需要对租赁商给予一定的经济补偿，即出租方所要承担的惩罚成本。考虑以下两种惩罚成本：

(1)在租赁期L内，设备发生一次故障，出租方的惩罚成本为CΛ，不考虑设备故障的损坏的程度，假定此惩罚成本是一个大于0的固定值。

2.2 预防性维修成本

设备投入使用时，后期发生故障的可能性会变大，此时出租方需要支付更多的罚金，为此，出租商会采取预防性维修策略，以便减少设备发生故障的次数。在租期Lj(j=1,2,…,k)内，发生了nj次预防性维修，设ti(i=1,2,…,nj)为预防性维修时刻，且有0

Cpm(δ)=a+bδ

其中a是固定成本，bδ是可变成本，且a>0,b>0。

2.3 故障维修次数与预防性维修次数

假设设备的故障率为r(t)且r(0)=0，即考虑的是新设备开始租赁。则在时间段[0,t]内，设备的故障次数为

假定当设备的故障率达到故障率阈值θ时，进行一次预防性维修,其维修的修复度为δ，其中0<δ≤θ。以下考虑租期为L1下的故障次数Λ1和预防性维修次数n1。

在租期为L1内，设备的故障率达到故障率阈值θ，在t1时刻进行第一次预防性维修,其维修的修复度为δ，则在t1时刻，设备的故障率为θ，即r(t1)=θ。当设备的故障率又一次达到故障率阈值θ，在t2时刻进行第二次预防性维修其维修的修复度为δ，则在t2时刻，设备的故障率为θ+δ，即r(t2)=θ+δ。依次类推，即在tn1时刻，设备的故障率为θ+(n1-1)δ,即r(tni)=θ+(n1-1)δ。所以在ti时刻，设备的故障率为r(ti)=θ+(i-1)δ，由此可以求解出ti=r-1[θ+(i-1)δ]，其中0

从图1可以知道在时间段[ti,ti+1]内，设备的故障次数为

所以，在整个租期L1中，设备的故障次数为

δ(t2-t1)-2δ(t3-t2)-…-n1(L1-tn1)=

同理可得，租期为Lj的设备故障次数为

因此，总的故障次数为

图1 对预防性维修设备故障率变化情况有个清晰地描述

2.4 维修服务质量

格鲁罗斯认为维修服务质量是客户的客观服务绩效和客户的主观期望的差值[16]，客户的客观服务绩效可用设备的可靠性来衡量，衡量可靠性的指标有设备的可靠度，平均无故障时间，有效度，故障率等。采用平均无故障时间来作为可靠性的衡量指标，对于给定的租期L，则有：

控制服务绩效的取值范围为[0,1]，所以定义客户的客观服务绩效为

由于假定的租期不同，对于租期Lj(j=1,2,…,k)记其客观服务绩效为

假设客户的维修服务的主观期望Fs服从正态分布N(μs,σs)，其中μs表示客户群体的期望均值，σs表示客户群体的标准差，假设不管租期长短，客户的主观服务期望都不变。则在租期Lj维修服务质量ϑj也服从正态分布N(μj,σj)，其中μj=lj-μs,σj=σs。

当维修服务质量达到了客户心中的满意值时，则客户有意愿租赁设备，否则，无意愿租赁设备。假设客户心目中的维修服务质量的阈值为Sf，则在租期Lj有意愿租赁设备的概率为

已知设备购置成本为V，基于以上分析，可以知道出租方的总支出为

nj(a+bδ)+V}αj

(1)

2.5 租赁设备的收入

已知设备的单位租金为W，则出租商的租金收入为

(2)

(3)

则租赁商的总收入为

(4)

2.6 利润模型

总利润是总收入与总支出的差值，即式(4)-式(1),得

E(TP)=E(TR)-E(TC)=

(5)

通过分析，可以得知出租商的总利润是关于故障率阈值θ，修复程度δ，以及预防性维修次数nj的函数，接下来将对这3个决策变量进行优化，使出租商获得的利润最大。

3 模型优化

涉及3个决策变量，优化其中一个决策变量时，故需保持另两个决策变量不变。首先选择优化的决策变量是故障率阈值θ，接着采用遗传算法来共同优化预防性维修次数nj和修复程度δ。

3.1 故障率阈值的优化

定理1当维修程度与不同租期下的预防性维修次数固定时，当θ=δ时，总利润函数有最大值。

首先证明单租期为L时，设备的利润为E(TP)=pr·αr，将其对θ求一阶导有：

其中,

考虑到：

则有-g3(μr-x)=g3(μr+x).

|μr-Sf|<|+∞-μr|=+∞

所以

这说明E(TP)关于θ在θ≥δ上单调递减函数，所以当θ=δ时，E(TP)有最大值。

同理，当θ=δ时，不同租期下的利润函数也取其最大值，所以式(5)就可写成：

nj(a+bδ) ]·αj

3.2 修复程度和预防性维修次数的优化

遗传算法(Genetic Algorithm)是模拟达尔文先生生物进化理论的自然选择和遗传学机制的生物进化过程的计算模型，是一种模拟自然进化过程搜索最优解的方法[17]。由于遗传算法对所求解的问题没有太多的约束，不管是线性还是非线性，是离散还是连续，而且约束的变量可以是多个，需要优化的预防性维修次数和修复程度，一个是离散决策变量，一个是连续决策变量，运用遗传算法可以很好的解决此问题。其基本思想为，先确定需要求解的适应度函数，接着初始化遗传算法的参数，然后对群体进行选择，交叉和变异运算，经过多次迭代，可以得到此问题的最优解。

4 案例分析

假定出租方对某大型的设备进行租赁，并且符合上文中所提供的维修方案。考虑有3种租期的情况，且假设设备的故障率服从两参数的韦布尔分布h(t)=λβ(λt)β-1，其中λ,β分别为其尺度参数和形状参数以及小修时间Tm服从两参数韦布尔分布G(t)=1-(φt)m。

其参数取值如下：

L1=3,L2=4,L3=5,W=700;

V=1 000,Vd=20,td=20,τ=20;

Cr=300,CΛ=100,μs=0.83,0.85或0.87;

Cτ=200,λ=0.5,β=1.5,a=100,b=50;

α1=α2=α3=400,sf=0.02,σs=0.02。

其结果如表1所示，

表1 不同主观期望均值μs下的预防维修策略

从表1可知：随着主观期望均值μs从0.83增加到0.85和0.87，其修复程度δ从0.233 5下降到0.213 2和0.158 6，这对出租方来说是降低了他们的维修难度，但是，租赁人数从1 183下降到1 142和1 164，其利润从1.511 51×106下降到1.447 6×106和1.343 94×106。当主观期望均值μs保持不变时，租期不同，服务绩效波动不大，但是单个设备的维修开销显著增加，这主要是因为预防性维修次数的增加，使得出租方对能零配件的需求增加。

5 总结与展望

目前，在租赁市场上租期不同更加符合企业对租赁设备的需求。在日常生活中，服务质量越好，吸引的顾客也越多，出租方获取的利润也就更多。基于不同租期和服务质量下的多设备租赁预防性维修优化策略，从出租方的角度，考察了租金收入，设备租期结束后的剩余价值收入和购买设备的成本，惩罚成本，小修成本及预防性维修成本等对利润模型进行了搭建，优化了故障率阈值以及利用遗传算法来共同优化了修复程度和不同租期下的预防性维修次数，结合实例分析得出客户的主观期望均值增大时，出租方的利润在减少。这是因为设备的维修开销增大，对设备的零配件的需求增加了，而如何提高维修服务质量又能降低设备的维修开销是今后研究的方向。其实影响租赁设备的人数，除了服务质量，还有租赁设备的口碑，租赁设备的租金以及租赁设备的运输成本等，这些都可以作为下一步研究的内容。