对“常微分方程”线性微分方程组理论的教学探究

邱玮

摘 要：“常微分方程”是一门理论性强、应用广泛的数学学科，它的形成与发展是和力学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。在相当广泛的实际应用问题中，比较复杂的数学模型都将会导出多于一个微分方程的方程组，本文以线性微分方程组教学为探讨重点，具体讨论教学方法和技巧。

关键词：常微分方程;线性微分方程组;教学方法

一、引言

“常微分方程”理论丰富且实用性强，兼具理论与实践双重价值，其研修对于学生未来的发展，意义明显， 是数学与应用数学专业的必不可少的一门学科必修课，在整个数学大厦中占据着重要位置。在反应客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足常微分方程关系式的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质。“常微分方程”的形成与发展是和力学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了有力的工具。

“常微分方程”一般在大学二年级开课，因为现行人才培养方案的改革，总学时数有所减少，一般为64学时或48学时，也有的高校减少为32学时，在总学时的约束下，有的时候讲不到線性微分方程组一章，或许将其作为选讲内容简单介绍，下面来谈谈这部分内容的地位和意义。

二、线性微分方程组的地位的和意义

线性微分方程组一章的内容与本课程其他章节的知识、数学的其他分支以及其他学科与领域的发展都有着密切的关联。

（一）与课程其他章节的联系

我们知道，n阶线性微分方程的初值问题可以转化为n个一阶线性微分方程构成的方程组的初值问题，反之亦然。这样线性微分方程组的内容与一阶微分方程和高阶微分方程都有紧密联系，在学习的过程中，既可以巩固前面所学的知识，还能使得线性微分方程理论更加完整。

（二）与数学其他分支的联系

微积分思想对微分方程的影响不言而喻，然后作为“线性代数”的后修课程，线性微分方程组一章也广泛利用“线性代数”中向量空间与矩阵代数的结果。很多线性微分方程组的理论，如线性相关与线性无关，朗斯基行列式，基本解组与基解矩阵，矩阵的特征值与特征向量等只有借助于“线性代数”的知识才可以作出适当和充分的解释。这样能使得学生在学习过程中体验不同数学分支的联系，提高学生对学科广度的认识，增强学习兴趣。

（三）与其他学科领域的联系

可以看到在相当广泛的实际应用问题中，比较复杂的数学模型都将会导出多于一个微分方程的方程组，而且通过某些简化的假设和适当的变换，这种方程组又可化为一阶线性微分方程组。常系数线性微分方程组在工程技术与科学研究中有很多应用，不少问题都归结为它的求解问题。例如两个自由度的振动问题。

三、线性微分方程组的教学探究

下面以王高雄主编的“常微分方程”作为教材，探讨第五章线性微分方程组的教学研究，围绕本章三个教学重点展开。

（一）线性微分方程组与高阶微分方程的关系

n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组的初值问题是等价的。这一理论较为抽象，可通过以下例子加强认识。

例1 试将线性微分方程组的初值问题

化为等价的微分方程，并求出方程的解。

思考 一阶微分方程组的初值问题可转化成高阶微分方程的初值问题进而求解，但一般的高阶微分方程没有普遍的解法，如何解决这一问题？

思考 每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成的方程组，反之是否成立？

（二）线性微分方程组解的结构

解析 在已知对应的齐次线性微分方程组的基解矩阵的前提下利用常数变易公式求解，其中涉及矩阵运算（加法、数乘、乘法、转置、行列式、逆）的知识，具体解答详见教材。

例4 试求方程x''+x=tant的通解。

解析 可利用非齐次线性微分方程组的常数变易公式，也可利用高阶微分方程的常数变易法，比较二者在思想、过程与结果表示上区别与联系。

（三）常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵

这里再次利用“线性代数”中特征值与特征向量的知识，解决常系数齐次线性微分方程组x'=Ax的基解矩阵φ（t）结构问题，

四、总结

总之，“常微分方程”课程的一个特点就是应用性强，在自然科学和社会科学各领域中都有广泛的应用，并取得了很多重要的成果。而其中线性微分方程组部分的学习既能够突出其应用性的特点，还能提高学习者数学专业素养以及数学思想的养成，是整个课程中不可或缺的一环。本文的探讨，希望可以让学习“常微分方程”这门课程的学生学到更多有用的知识，为相关的教育工作者提供更多适合学情的思考及帮助。

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]刘庆辉.基于常微分方程课程教学内容改革的思考与研究[J].成都师范学院学报，2017，33（05）：115-117.

[3]吴楚升.《常微分方程》课程分层教学的实践分析与探究[J].开封教育学院学报，2019，39（03）：112-113.

[4]陈月红.对“常微分方程”非线性部分的教学探讨[J].数学学习与研究，2017（20）：7-8.

[5]李立平.常微分方程解的延拓定理教学研究[J].湖州师范学院学报，2018，40（10）：101-105.