舰船气泡尾流中气泡的谐振频率分析

王 众，张洪刚

舰船气泡尾流中气泡的谐振频率分析

王 众，张洪刚

（海军工程大学兵器工程学院，武汉 430033）

为了解决使用明纳特频率在计算舰船气泡尾流中微小气泡的谐振频率时存在的误差，得到舰船气泡尾流中微小气泡更准确的谐振频率计算公式。本文在中等大气泡的谐振频率计算公式明纳特频率的基础上，根据Rayleigh-Plesset方程，推导了适用范围更广的谐振频率计算公式，并给出了迭代解，以及适当范围内的二次迭代解。该计算公式可以对舰船气泡尾流中存活时间最久的微小气泡的谐振频率进行计算，对声尾流制导鱼雷的频率选用具有一定的指导价值。

舰船尾流 气泡 明纳特频率 谐振频率

0 引言

舰船在海面上航行的时候都无可避免的会因为舰艏兴波破浪将气泡卷入海水和舰艉螺旋桨高速旋转而空化产生气泡而形成长长的尾流，因此利用舰船尾流区同周围海水介质的不同物理性质探测舰船的尾流制导鱼雷应运而生[1-3]。对舰船尾流特性的研究早已受到各个海洋大国的重视，其关系到未来水下反舰的研制与应用[4]。

舰船气泡尾流具有特定的气泡分布，可通过声、光等措施对其进行探测及跟踪[5]。采用声措施探测舰船尾流的存在及跟踪攻击舰船的武器声尾流制导鱼雷，声尾流制导鱼雷是通过在水中向上发射高频声波，再采集回波后进行分析对舰船进行探测及跟踪的[6]。提高声尾流制导鱼雷对气泡尾流的探测能力是提高声尾流制导鱼雷作战效能的重要手段，对气泡尾流的探测就是对气泡尾流的散射能力的检测。气泡尾流中含有数量众多的大小各异的气泡，当声波频率能够使尾流中占大多数的气泡产生谐振时，气泡尾流的散射能力最强[7]。现在，大部分使用的气泡谐振频率公式是由明纳特推导的[8]，该公式对中等大气泡适用，对于舰船气泡尾流中能够长时间存在的微小气泡适用性不是很强，所以对舰船气泡尾流中气泡的谐振频率进行研究十分重要。

1 气泡的谐振

液体中的气泡一旦受到入射声波的激励使之从静止状态开始扰动后，在不受入射声波进一步激励的情况下，会在液体中以其固有频率脉动。如果入射声波的频率和气泡的固有频率相同，那么气泡会发生谐振，此时气泡脉动具有最大的振幅。我们将此频率称为气泡的谐振频率，明纳特推导了对中等大气泡适用的谐振频率0(a)简化表达式为

式中为气泡半径；α为气泡内气体比热比；P为气泡所受压强；ρ为液体密度。明纳特关系式只适用于较大气泡以及入射声波频率较低的情况，对于较小的气泡，由于其谐振频率较高，需要对热传导和表面张力的作用进行修正。

在密度为ρ和切变黏度为η的不可压缩介质中，瞬时半径为的球形气泡的运动满足Rayleigh-Plesset方程，即

式中，0()为无限远处声压，w()为气泡内压强的总和，η为液体的切变黏度。

根据体积弹性模量的定义，有

如果假设热扩散率a可以忽略，且表面张力的影响不受绝热条件控制，若用ω表示处于绝热条件下气泡的谐振频率，有

用ω表示处于等温条件下气泡的谐振频率，有

式用于可忽略热传导且表面张力起显著作用的较大气泡，用于半径较小气泡。通常情况下，气泡脉动既不完全是绝热脉动也不完全是等温脉动，气泡的谐振频率一般在ω与ω之间。

2 多方指数

3 气泡的谐振频率

对于较大气泡，其谐振频率为明纳特频率，但是对于较小气泡，一方面由于气泡内部的热传导作用，会降低其谐振频率；另一方面由于气泡的表面张力的存在，会增加其谐振频率。由于两种情况对气泡的谐振频率作用效果相反，故需要讨论气泡的实际谐振频率。

式中，被省略的最大项与和同阶。当气泡半径大于20μm时，是可忽略的。图1和图2分别画出了海面和深度为90 m处，重复利用式 之后得到的气泡谐振频率收敛迭代解，以及通过式计算得到的气泡谐振频率二次迭代近似解，还有通过式和式计算的在绝热和等温条件下的气泡谐振频率ωad和ωiso，并通过除以明纳特频率ω0进行归一化处理。

图2 深度90米时，水中气泡的谐振频率与气泡半径的关系

表1 物理量常数值

从图1和图2中可以看出，当气泡半径超过20时，根据式计算出的二次迭代解与多次迭代得到的结果基本重合，说明所舍去的高次项对结果几乎无影响。同时从图中还可以看出，当气泡半径超过3时，直接采用明纳特频率所带来的误差小于10%。对于整个气泡半径范围来说，气泡较小时使用式，气泡较大时使用式是个很好的选择，整体误差小于3%。

4 气泡的谐振半径

实际应用中，遇到的往往是由不同气泡半径气泡组成的气泡群，而不是单个气泡。前面节讨论了不同气泡半径气泡对应的谐振频率，这一节讨论在任意频率平面声波入射气泡群时，什么半径的气泡会发生谐振。我们知道，对于较大气泡，其谐振频率为的明纳特频率，将明纳特频率表达式转换成气泡半径与频率的关系如下：

将式记为明纳特半径，那么当声波频率低于10 kHz时，谐振气泡半径等于明纳特半径。对于更高的声波频率，同样需要在两个方面对谐振半径进行修正，一方面是由于气泡内部的热传导作用，会减小其谐振半径；另一方面由于气泡的表面张力的存在，会增加其谐振半径。

和与被省略的最大项同阶，在声波频率低于100 kHz时，是可忽略的。

图4 深度90米时，水中气泡的谐振半径与声波频率的关系

图3和图4分别画出了海面和深度为90 m处，重复利用式之后得到的气泡谐振半径收敛迭代解，以及通过式计算得到的气泡谐振半径二次迭代近似解，还有通过式和式计算的在绝热和等温条件下的气泡谐振半径和α，并通过除以式明纳特半径α进行归一化处理。计算所用物理量的常数值同样见表1。

从图3和图4中可以看出，当声波频率低于在200 kHz时，根据式计算出的二次迭代解与多次迭代得到的结果基本重合，说明所舍去的高次项对结果几乎无影响。同时从图中可以看出，当声波频率低于200 kHz时，直接采用明纳特半径所带来的误差小于10%。对于整个频率范围来说，较高频率时使用式（15），较低频率时使用式（17）是个很好的选择，整体误差小于3%。

5 结论

本文在中等大气泡的谐振频率-明纳特频率的基础上，根据Rayleigh-Plesset方程，推导了从微小气泡半径到大气泡半径的谐振频率迭代表达式，并给出了适用半径范围不包括数微米级小气泡但是更简单的二次迭代表达式。同时，也推导了适用于全频域的谐振半径迭代表达式，可通过入射声波频率知道更准确的发生谐振的气泡半径大小，同时也给出了频率范围小一些但更简单的二次迭代表达式。对于需要知道准确谐振频率或者谐振半径的情况，比如对舰船气泡尾流中气泡的探测，用本文的方法选择声纳频率更为准确，是提高声尾流制导鱼雷作战效能的方法之一。

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Analysis of Resonant Frequency of Bubbles in Ship Bubble Wake

Wang Zhong, Zhang Honggang

(Naval University of Engineering, College of Weapon Engineering, Wuhan 430033, China)

O32

A

1003-4862（2019）09-0014-04

2018-03-01

王众（1989-），男，博士研究生。研究方向：武器制导与控制技术。Email: dtoubaby@163.com