高中数学函数奇偶性的多重分析

董红

摘 要：函数是数学学科中极为重要的内容，也是高中数学考查的重心。高中阶段函数的学习紧密围绕其单调性、奇偶性和周期性展开。在这些内容中，奇偶性是近几年高考的热点。从高考试卷分析情况来看，考查点侧重对函数奇偶性的判断，利用图象解决问题，利用奇偶性、周期性求函数值或参数值等是重点，也是难点。从题型上看，以填空为主，辅以应用类问题。从学生的学习和答题情况来看，很多学生对函数奇偶性的概念掌握不到位，在解题中容易因概念理解错误或理解不到位而影响整个解题过程。因此，本文主要对高中数学函数奇偶性多重分析，进而提出以下内容，希望能够为同行业工作人员提供相应的参考价值。

关键词：高中数学;函数;奇偶性;多重;分析

一、对函数奇偶性定义的理解

（一）奇函数与偶函数的定义

一是奇函数的定义：对于函数f（x）定义域中的任意x，都存在f（-x）=-f（x），那么我们称该函数为奇函数;二是偶函数的定义：对于函数f（x）定义域中的任意x，都存在f（x）=f（-x），那么我们称该函数为偶函数;三是不管f（x）是奇函数或是偶函数，我们都称该函数具有奇偶性.

（二）对函数奇偶性的理解

一是任意性：具有奇偶性的函数，其奇偶性是对该函数f（x）定义域内的任意值而言的，所以，函数的奇偶性是该函数在其整个定义域上的性质，与函数在其定义域某一区间上的单调性是存在差别的;二是对称性：对数学函数f（x）来讲，如果其为奇函数，那么其图像必然关于原点对称，如果其为偶函数，那么其图像则必然关于y轴对称;同样，对于函数f（x）来讲，如果f（x）为奇函数或者偶函数，则必然存在着f（-x）=-f（x）或者f（x）=f（-x），那么其定义域也必然会关于原点对称;同时，对于任意函数f（x），如果其图像关于原点对称，那么该函数为奇函数，如果其图像关于y轴对称，那么该函数为偶函数。但是，如果一个函数的定义域关于原点对称，那么该函数却不一定具有奇偶性;三是同值性：对于奇函数或偶函数来讲，当其自变量x取相反数值时，其函数的绝对值是相等的。

二、关于函数奇偶性的判断及其性质的探究

首先，在对函数的奇偶性进行判断时，要抓住两点：一是定义域关于原点对称，这个是必要条件;二是要看f（x）与f（-x）之间是否存在等量关系，根据等量关系转化为f（x）-f（-x）=0或f（x）+f（-x）=0，再对函数进行判断。其次，关于函数奇偶性的性质需要注意以下几点：

（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反;

（2）若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x）=f（|x|）;

（3）若奇函数f（x）定义域中含有0，则必有f（0）=0，f（0）=0是f（x）为奇函数的既不充分也不必要条件;

（4）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可以表示成“一个奇函数与一個偶函数的和（或差）”;

（5）复合函数的奇偶性特点是“内偶则偶，内奇同外”;

（6）既奇又偶的函数有无穷多个（如f（x）=0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）。

三、对高中数学函数奇偶性的多重分析

（一）利用奇偶函数的定义对奇偶函数的应用进行分析

例1已知函数f（x）在R上为奇函数，当x<0时，f（x）=-xlg（2-x），求f（x）在R上的解析式。

利用奇函数的定义：对于函数f（x）定义域中的任意X，都存在f（-x）=-f（x），那么我们称该函数为奇函数，

可以得到：f（-x）=-f（x），f（0）=0.

当x>0时，-x<0，所以，f（-x）=xlg（2+x），

所以，-f（x）=xlg（2+x），f（x）=-xlg（2+x）（x>0），

所以，

即f（x）=-xlg（2+|x|）（x∈R）.

（二）利用奇偶函数图像的对称性对奇偶函数的应用进行分析

如果一个函数的图像关于原点成中心对称，那么这个函数一定是奇函数，如果一个函数的图像关于y轴成轴对称，那么这一个函数必然是偶函数.对奇函数来讲，其图像关于原点对称;对偶函数来讲，其图像关于y轴对称。同时，不管是对奇函数还是对偶函数，其定义域都关于原点对称。

例2已知函数y=f（x）在（0，2）上是递增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，比较f（1），f  ，f  的大小。

解：因为函数y=f（x+2）是偶函数，由偶函数的定义f（x）=f（-x）可以得到：f（x+2）=f（2-x），由偶函数的图像对称性可知，f（x）的图像关于x=2对称。

因为f（x）在（0，2）上是单调递增函数，所以，f（x）在（2，4）上为单调递减函数，f（1）=f（2-1）=f（2+1）=f（3），

所以_______________________。

四、结论

通过上述分析可知，函数对于数学的重要性毋庸置疑的，数学作为一门思维性、逻辑性较强的学科，运用不同的思考方式对同一个问题进行分析理解，可以获得意想不到的效果。本文以高中数学函数的奇偶性为例进行了多方面的分析，并运用实例对其应用加以说明，在一定程度上增强同学们对函数奇偶性的理解与掌握，进一步促进大家共同进步。

参考文献：

[1]刘飞.高中数学函数奇偶性教学及数学思想方法导入[J].华夏教师，2018（33）：46.

[2]陈柯彤.高中数学函数的单调性，奇偶性及周期性的研究[J].科学技术创新，2018（32）：40-41.