求解“任意”、“存在”问题的策略

曹吉龙

“任意”、“存在”问题是近几年模拟题及高考题的热点、重点。好多考生对于如何处理这类问题感到无从下手。现举例介绍这类问题的常见的求解策略及方法。

一、“任意”问题的解法

含有“任意的x∈A，使f（x）≥g（x）成立或f（x）≤g（x）成立”这类问题可转化为最值问题或分离参数后转化为最值问题来求解。

【解】（1）略

（2）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得 a（x-lnx）≤x2-2x.

∵x∈ [1，]e，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，∴lnx＜x，即x-lnx＞0

当x∈ [1，]e时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，从而t′（x）≥0

∴t（x）在区间 [1，]e上单调递增，∴t（x）min=t（1）=-1，∴a≤-1

解题策略：任意的x∈A，使f（x）≥g（x）成立⇔x∈A，使［f（x）-g（x）］min≥0；任意的x∈A，使f（x）≤g（x）成立⇔x∈A，使［f（x）-g（x）］max≤0恒成立。

二、“存在”问题的解法

例2.定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：

①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②f′（x）是偶函数；③f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）设g（x）=4lnx-m，若存在x∈［1，e］，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围.

解（1）f′（x）=3ax2+2bx+c.

∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，

由f′（x）是偶函数得b=0，①

又f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，

∴f′（0）=c=-1，②

（2）由已知得，若存在x∈［1，e］，使4lnx-m＜x2-1，

即存在x∈［1，e］，使m＞（4lnx-x2+1）min.

设M（x）=4lnx-x2+1，x∈［1，e］，

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又M（1）=0，M（e）=5-e2＜0，

∴M（x）的最小值为5-e2.∴m＞5-e2.

评注：存在x∈［1，e］，使4lnx-m＜x2-1⇔存在x∈［1，e］，使m＞（4lnx-x2+1）min.

解题策略：存在x∈A，使f（x）≥g（x）成立⇔x∈A，使［f（x）-g（x）］max≥0；存在x∈A，使f（x）≤g（x）成立⇔x∈A，使［f（x）-g（x）］min≤0恒成立.

三、含二元或多元的“任意”与“存在”问题的解法

所以当x∈［0，1］时，f（x）min=f（0）=-1.

根据题意可知存在x∈［1，2］，

使得g（x）=x2-2ax+4≤-1，即x2-2ax+5≤0，即成立，

则要使a≥h（x）在x∈［1，2］能成立，只需使a≥h（x）min

解题策略：任意x1∈A存在x2∈B，使f（x1）≥g（x2）成立⇔x1∈A，x2∈B使f（x1）min≥g（x2）min.

“任意”“存在”问题一直是高考中的热点问题，此类问题涉及到函数与导数、不等式与方程等知识，考查了同学们基本计算能力及转化与化归思想、分类讨论的数学思想以及分析问题解决问题的能力。解决此类问题的方法较多，需具体问题具体分析，虽有难度但有规律可循。为此我们要善于观察、善于归纳，把“任意”、“存在”问题转化为我们熟悉的最值问题，就能取得成功。