《数值分析》课程教学改革：基于OBE的思考与设想

吴鸿韬，李 智，袁玉倩

(河北工业大学 人工智能与数据科学学院，天津 300401)

0 引言

数值分析(也称计算方法)是用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其软件实现。随着计算机科学与技术的快速发展，数值分析被广泛应用于科学技术各领域。国内高校很多专业都开设了《数值分析》这门课，主要教学内容包括插值法、数值逼近，数值微分与积分，线性方程组的数值求解，非线性方程与方程组求解，特征值计算，常微分方程数值解等[1]。目前，《数值分析》课程所用的教材大多偏重于从数学角度介绍数值计算方法理论，公式繁多，缺乏理论与实际应用结合的行业案例，实际教学效果不大理想。

结合学科特点和专业培养目标开展数值分析课程教学改革，受到越来越多的关注。汪海鹰等[2]探索了工程教育专业认证视角下的软件工程专业数值计算方法课程的教学改进与实践。刘玉飞等[3]研究了基于OBE理念的“计算方法”教学改革。陆亮等[4]围绕工程机械设计与应用实践设计了一套贯穿典型机械组成、设计、加工与控制的教学案例体系，该案例体系还能够辐射后续的机械设计与加工工艺、机械运动动力学原理以及流体传动与控制等专业课程。

“十三五”期间，随着大数据、互联网+、人工智能的蓬勃发展，给计算机专业的《数值分析》教学提出了新的任务与要求。传统的知识性教育正向以能力为导向的教育模式转变，如何改革现有教学模式，以适应新形势下对高质量计算机软件工程人才的需求，是计算机专业教育工作者面临的重要挑战。本文基于OBE理念，对计算机专业的《数值分析》课程的教学改革做了一些积极探索。

1 OBE视角下的《数值分析》教学面临的问题

OBE作为工程教育专业认证的三大理念之一，已经深入人心。OBE是指“清晰地聚焦在组织教育系统，使之确保学生获得在未来生活中取得实质性成功”，是一种以学生学习成果为导向的教育理念,强调学生在课程学习结束后获得的知识、能力、素质等方面的成长[5]。基于此，计算机专业的《数值分析》课程教学过程中存在一些问题：

(1)课程内容缺乏前沿性，不利于培养目标的达成。《数值分析》课程的主要教学内容比较稳定，涉及到的有关算法理论都非常基础，没有体现最新的研究成果，也没有体现工程实践常用的算法。以“矩阵分解”为例，作为普通高等教育十一五国家级规划教材[1]介绍了直接三角分解法、平方根法和追赶法，对计算机软件工程领域中常用的奇异值分解(Singular Value Decomposition，SVD)、非负矩阵分解(Nonnegative Matrix Factor，NMF)并没有涉及。应用领域的主流算法介绍的缺失导致学与用的失配，学生不知道如何运用数值计算方法去解决专业领域的工程实践问题，不能很好地满足行业与用人单位的外部需求。成果导向的教学设计强调了“行业与用人单位的需求是构建专业教育知识、能力和素质结构的重要依据”；内外需求是确定培养目标的依据[6]。现行的《数值分析》教学往往忽视了外部需求，不利于工程教育认证中培养目标的达成。

(2)以知识传授为中心的教学模式不利于知识向职业能力的转化。《数值分析》课程的课堂教学大多采用知识传授为中心的教学模式，偏重数值计算方法理论的讲解，忽视了课程内容在课程体系中承前启后的作用。这种“过分强调知识目标，忽略了能力的达成和素养的提高”的教学模式使学生在课程学习过程中会形成“知识孤岛”现象，难以建立完整而系统的专业知识体系，导致学生仅有知识而不具备知识迁移技能以及知识应用能力，阻碍了知识向职业能力的转化。“教学内容强化知识的整合而不是知识的割裂”是OBE理念的重要特征[5]。因此，在教学过程中要着重让学生将所学知识与未来的应用进行有效衔接。

(3)教学案例缺乏多样性，不利于个性化教学的开展。教学案例在《数值分析》教学过程中具有重要意义，一方面可以引导学生学习，改善数学理论的学习效果，另一方面增强学生对自身专业的了解，提高专业实践能力。尽管不少案例已经出现于课堂教学，但源自多个学科，相对零散，系统性与专业性不强[4]。更重要的是针对同一知识点的案例缺乏多样性。OBE理念强调以学生的能力状况为起点，根据不同学生的能力现状提供不同的学习内容，制定差异化的教学策略，并根据学生的能力发展状况不断调整教学，直至达成教学目标[5]。因此，教学案例的设计应更多考虑来自不同研究和应用领域的题材，最大程度上扩展学生的视野，满足不同层次学生的多元化学习需求。

目前，国内高校正如火如荼地开展高等工程教育专业认证工作，而“学生的能力培养”正是工程教育认证标准的核心。因此，数值分析的教学改革目标应该结合学科特点，以培养学生的职业能力为核心、以提升学生的工程实践能力为导向，实现对学生实践能力、基础科研能力的培养以及终身学习能力的提高。

2 基于OBE理念的课程教学

2.1 拓展课程内容，引入学科前沿和新技术

基于OBE理念的教学模式不再是正向的知识灌输，而是围绕学生的最终“成果”来组织和开展教学，以明确的综合能力的掌握为目标反向设计教学过程，最终促进学习成果的达成。OBE的反向设计是从“需求”开始的。科技的飞速发展和职业生涯的迫切需求，迫使《数值分析》课程教学内容要反映前沿性，要满足工程实践的需要。有了这一“需求”后，根据OBE的反向设计理念，《数值分析》课程需要有效“增负”，需要拓展课程内容，引入学科前沿和新技术。根据已有知识点引入学科前沿和新技术的示例如表1所示。

学科前沿和新技术的引入，需要注意以下几点：

(1)引入的学科前沿和新技术是对已有知识点的扩展和补充，需要围绕已有知识点引入工程实践中有较多应用的学科前沿和新技术。对计算机专业来说，引入的前沿知识和新技术要有相应的开源工具/代码来支撑教学，方便引导学生进行自主学习。

表1 引入的学科前沿和新技术

(2)引入的学科前沿和新技术是对《数值分析》已有教学内容的补充和扩展，需要避免过多占用授课学时。可以通过教学案例、实验、作业、课外补充材料等多种形式将学科前沿和新技术引入《数值分析》教学过程中。

(3)引入的学科前沿和新技术要以问题求解为导向、以解决实际工程问题为背景。当前的软件工程人才培养过程中，忽视了工程环境中以问题求解为导向的主动学习，缺少启发式教学和基于实际工程项目的案例教学，导致教学模式与培养途径与工程实际能力培养不适应[7]。因此，以问题求解为导向、以解决实际工程问题为背景，引入学科前沿和新技术，有助于提高计算机软件工程人才培养质量。

(4)从工程应用视角而不是理论视角引入学科前沿和新技术。OBE理念中要求学生“具有自主学习和终身学习的意识，有不断学习和适应发展的能力”，而自主学习和终身学习的意识主要靠外界环境和因素的激发[3]。人工智能时代的课堂革命要求教师能够通过一定的方式和情境点燃学生的学习激情[8]。此外，当今学生成长的背景是互联网、移动互联网高速发展的时代，知识信息获取渠道多元，已经养成了从互联网上获取学习资源的习惯和能力。因此，引入学科前沿和新技术的目的是通过提供高阶性、创新性的课程内容，引导学生主动学习、激发学生的学习热情、拓宽学生的眼界和思路，不需要过多关注学科前沿和新技术的理论介绍。

2.2 构建课程知识图谱，强化课程之间的联系

OBE理念打破了课程之间的壁垒，弱化了课程本身的系统性、完整性和连续性，强化了课程之间的联系[6]。因此，《数值分析》的课堂教学设计必须放在大的专业背景体系中，将相关的教学内容合理有效地关联起来。为此，本文以《数值分析》课程已有知识点为中心，将《数值分析》已有知识点和课程体系中相关课程的相关知识点及其应用实例关联起来，构建知识图谱，强化课程之间的联系，从根本上回答“学习这门课对后续专业学习有什么用”的问题。《数值分析》课程知识图谱构建原理如图1所示，强化已有知识点和学科前沿与新技术之间的关联关系、已有知识点和其他后续课程之间的关联关系、已有知识点和前驱课程之间的关联关系。课程知识图谱构建完成之后，可以依据课程知识图谱，引入学科前沿和新技术、设计教学案例和实验题目、布置作业等。课程知识图谱的建设不是一朝一夕就可以完成的，在这一过程中，可以充分调动学生的参与积极性，师生协同共建课程知识图谱。

图1 数值分析知识图谱构建原理示意图

2.3 增加课程内容的可选择度，促进个性化学习

(1)多样化教学案例。根据《数值分析》已有知识点和引入的学科前沿和新技术，设计多样性的教学案例，让学生了解同一知识点在不同领域中的应用，开阔学生视野，有助于学生根据自己的兴趣选择合适的方向进行主动学习。以矩阵分解知识点为例，可以基于SVD/NMF在数据去噪、图像压缩、推荐系统、人脸识别、文本挖掘、语音处理、推荐系统等工程领域的应用实例来设计教学案例。由于Github、Scikit-learn等资源的存在，计算机科学的开源社区越来越壮大，《数值分析》教学过程中为学生提供多样性的教学案例成为可能。

(2)层次化实验教学内容。在明确培养目标的基础上，以提升学生的工程实践能力为导向，设计难度分级的实验题目，满足不同层次学生的学习需要，为学生提供一个个性化成长途径。此外，灵活实验考核方式，在实验内容方面赋予学生更多的自主权，充分调动学生的自主学习积极性。例如，可以把实验区分为教材原有算法的简单实现、Demo程序中教材原有算法简单实现、Demo程序中学科前沿算法的实现(调用已有库函数)、Demo程序中学科前沿算法的实现(完全重写)、应用领域工程实例的实现、各类竞赛参赛题目等若干个级别，有助于不同层次的学生根据自己的学习能力进行选择。

3 结语

根据OBE理念，分析了《数值分析》课程教学过程中存在的问题，并探索了基于OBE理念的课程改革思路，指出拓展课程深度、强化课程间的联系、扩大课程内容的可选择性，是实现“以学生为中心”教学理念的重要途径。把《数值分析》课程知识与职业能力这一产出统一在一起进行教学设计，有助于学生知识、能力、素质的有机融合，有助于培养学生解决复杂问题的综合能力。