双端固支石英振梁力频系数与热弹性品质因数分析

李 村，韩 超，赵玉龙

（西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室，西安710054）

0 引言

双端固支石英振梁具有力频特性,施加在振梁轴线方向上的力能够改变振梁的振动频率,此特性被广泛应用于力传感器、加速度传感器、压力传感器等高精度谐振式传感器中[1-3]。传感器内部通过弹性元件将加速度或压力载荷等转换为振梁的轴向力,改变其振动频率并将频率变化输出,实现被测载荷的准数字式测量[4]。作为传感器的敏感元件,双端固支石英振梁的力频系数和品质因数Q值（Quality Factor）对传感器的精度具有重要的影响[5]。

力频系数指的是单位轴向力引起的振梁频率的变化值,对传感器的灵敏度具有重要的影响。当振梁受到的轴向力相同时,振梁的力频系数越高,则传感器的灵敏度越大。振梁的力频系数是其固有特性,由振梁材料参数和特征尺寸决定。

谐振器的Q值是影响传感器稳定性和分辨率的重要参数,谐振器的信噪比与谐振器的Q值成正比,高的品质因数在频谱特性中拥有更锐利的尖峰,对噪音的抑制能力亦越高。Q值与谐振器的具体阻尼形式有关,包括振动不平衡、阻尼黏度、声辐射损耗等。当谐振器在真空中封装时,空气中的气体分子变得非常稀薄,由振动造成的振梁-气体分析能量损耗可以忽略不计,也就是说气体阻尼决定的品质因数处于次要位置,此时影响谐振器品质因数的主要因素是热弹性阻尼。热弹性阻尼表征振梁振动时,受拉/受压部位产生的热量不同,由此产生的热流动引起能量损失[6]。

本文从振梁力频系数和热弹性品质因数的计算模型出发,分析了两者与振梁特征尺寸之间的关系,得出了两者之间相互制约的结论及定量影响关系。建立了目标优化函数,综合表征了振梁力频系数与热弹性品质因数的影响,并分析了设计传感器时如何综合考虑谐振器的力频系数和热弹性品质因数。

1 双端固支石英振梁工作原理

双端固支石英音叉（QDETF）谐振器由两个平行的石英振梁构成,两个石英振梁在同一平面内反相振动,作用于两个石英振梁根部的力和力矩相互抵消,从而减小石英音叉的固定连接端与外界的能量耦合,降低了谐振时的能量损耗,从而提高了谐振器的品质因数。通过合理设计谐振梁上的电极分布,利用石英晶体的逆压电效应驱动其谐振在预设模态,双端固支石英音叉的这种振动激励方式具有原理简单、抗干扰能力强、容易形成自激振荡、易于检测等优点。

在石英振梁表面合理配置电极,利用石英晶体的压电效应激励双端固支石英音叉达到沿宽度方向的相反相位横向弯曲振动模态[7]。横向弯曲振动可以视作是两个方向相反的伸缩振动的组合,以中性面为界,振梁一半受拉伸,另一半受压缩,如图1所示。根据石英晶体的逆压电效应,通过布置表面电极,只有晶体轴x方向电场E1才能驱动石英音叉产生长度y方向的伸缩振动,即E1为有效电场。而晶体轴y方向、z方向电场E2和E3均为无效电场,无法激励出长度方向的伸缩变形。因而,为了产生弯曲振动,必须在xoy平面内的中性面两侧产生大小相等、方向相反的有效电场E1和-E1。

图1 双端固支石英振梁电极分布及实物照片Fig.1 Electrode distribution and photographs of quartz double ended vibrating beam

通过有限元的压电耦合分析方法可以仿真图1所示的音叉在压电驱动力下的振动模式,采用ANSYS 13.0命令流实体建模方法,单元选择为具有20节点的SOLID226实体单元模型,仿真结果如图2所示。音叉的几何尺寸为：长 3.7mm、宽0.09mm、厚0.1mm。由于石英晶体是各向异性材料,有限元分析中涉及晶体切型、电极、电场方向等矢量,因此石英晶体不能简化为各向同性材料,材料的机电参数采用数据表的形式输入到有限元软件中。

图2 压电耦合分析得到的音叉弯曲结果Fig.2 Piezoelectric coupling analysis results for the bending deformation of quartz tuning fork

2 力频系数分析

采用双端固支石英振梁作为敏感元件的传感器在工作时,被测量通过改变双端固支石英音叉的轴向力来改变振梁的振动频率。如图3所示,取音叉的其中一根梁作为分析对象,采用经典的Euler-Bernoulli细长梁理论,可以得到振梁一阶固有频率与轴向力的理论模型[8]。

由此,对于基频振动,得到细长梁受到轴向力时振动频率与一阶固有频率的关系

图3 细长梁受轴向力时的Euler-Bernoulli模型Fig.3 Euler-Bernoulli model when the slender beam is subjected to axial force

式（1）中,f0为不受轴向力作用时梁的一阶固有频率,如式（2）所示；P为轴向力；l为振梁长度；E为石英杨氏模量；I为振梁极惯性矩,设梁的厚和宽分别为h和w,则惯性矩I=hw3/12。振梁的一阶固有频率表达式为

将振梁的尺寸参数（l、h、w）以及式（2）代入式（1）,取密度ρ=2.65×103kg/m3, 杨氏模量E=9×1010N/m2,可以得到细长梁受到轴向应力时固有频率与结构尺寸参数之间的关系

如前所述,石英振梁通过表面布置电极,配合石英的压电特性进行振动激励与检测,因此梁的宽度不应太小,否则影响电极宽度进而引起振梁起振困难。本文取振梁宽度70μm～110μm范围进行分析,振梁长度则选择2mm～5mm范围进行分析。根据式（3）得到石英振梁在考虑的尺寸范围内,力频系数随振梁长度和宽度关系如表1和图4所示。

图4 振梁力频系数随长度和宽度的变化曲线Fig.4 Variation curves of force-frequency coefficient with length and width

从计算结果可以得出,在振梁宽度不变时,双端固支石英振梁的力频系数随振梁长度增加而提高。当振梁长度从2mm增加到5mm时,力频系数分别提升了 8.8%（w=70μm 时）、4.3%（w=80μm 时）、2.5%（w=90μm 时）和 1.6%（w=100μm时）。同时也可以得出,在振梁长度不变时,双端固支石英振梁的力频系数随振梁宽度的减小而提高。当振梁宽度从100μm降低到70μm时,振梁的力频系数分别提升了43%（l=2mm时）、43.8%（l=3mm 时）、46%（l=4mm 时）、53%（l=5mm 时）。

通过分析,可以得出以下结论：1）双端固支石英振梁的力频系数随着振梁长度的增加、宽度的减小而不断提高；2）振梁宽度对力频系数影响大于振梁长度；3）振梁宽度越大,振梁长度对力频系数的影响越弱。

3 热弹性阻尼分析

石英振梁工作时处于弯曲振动状态,双端固支梁的弯曲振动造成了梁的一部分处于受拉另一部分处于受压。根据热弹性阻尼可知,当梁受拉时,振梁的温度下降；当梁受压时,振梁的温度升高。石英振梁的振动状态被振梁长度的0.224倍和0.776倍分为三部分,且每一部分沿着梁宽度方向一半受拉另外一半受压。由此,造成振梁工作时梁内部由振动引起的温度不同,引起热能的流动,从而造成振动能量损失,降低了石英振梁的品质因数。

由热弹性阻尼引起的振梁品质因数的理论计算公式如下[9]

式（4）中,E为杨氏模量；α为热膨胀系数；ω为谐振角频率,可以根据式（2）计算得到；Ta为绝对温度；ρ0为石英密度；Cp为热容量；τ为系统热驰豫时间常数,可表示为

式（5）中,h为振梁厚度,κ为热传导率。

采用有限元分析软件COMSOL Multiphysics进行热弹性阻尼的仿真计算,得到双端固支石英振梁在振动时的温度场分布,其相对温度变化如图5所示。

仿真过程中,采用的石英材料参数为泊松比λ=0.08、热膨胀系数α=1.337×10-5K-1、热容cp=744J/（kg·K）、热传导率κ=6.5W/（m·k）。 通过图5可以看出,当双端固支石英振梁工作于基频状态时,振梁上受拉变形区域温度降低,受压变形的区域温度升高,与理论分析结构一致。改变仿真过程中振梁的尺寸,得到振梁热弹性品质因数Q与振梁尺寸的关系如表2和图6所示。仿真过程中,振梁尺寸取值与第上一节相同。

图5 振梁的热弹性变形分析结果Fig.5 Analysis results of thermal elastic deformation

表2 振梁热弹性品质因数与尺寸的关系Table 2 Relationship between thermal elastic quality factor and dimension

图6 振梁热弹性品质系数随长度和宽度的变化曲线Fig.6 Variation curves of thermal elastic quality factor with length and width

由分析结果可以看出,双端固支石英振梁的热弹性品质因数随振梁长度增加而减小（振梁宽度不变时）,随振梁宽度的增加而增大（振梁长度不变时）。当振梁长度从2mm增加到5mm时,品质因数损失了 83.7%（w=70μm 时）、83.3%（w=80μm时）、82.4% （w=90μm 时）和 81.9% （w=100μm时）；同时,当振梁宽度从70μm增加到 100μm时,品质因数提升了155%（l=2mm时）、181%（l=3mm 时）、175%（l=4mm 时）、184%（l=5mm 时）。由此可以得出,振梁长度和宽度对热弹性品质因数的影响均比较大。其中,长度的影响大于宽度的影响。

4 石英振梁力频系数与热弹性品质因数之间的矛盾关系及目标优化函数的分析

通过前面分析可得出,对等截面细长石英振梁来说,振梁长度和宽度尺寸对力频系数与热弹性品质因数的影响相反,两者之间存在一定的矛盾关系。

在分析的范围内,当振梁长度增加时,力频系数提高了约1.6%～8.8%,而热弹性品质因数却损失了82%～83%。因此,双端固支石英振梁的长度对力频系数的提升不太明显,但是对热弹性品质因数的影响却很大。在只考虑振梁力频系数和热弹性品质因数的因素下,振梁的长度要短。但是,振梁变短的情况下,对于整个传感器而言,在同等载荷下,振梁内的轴向应力也会变小。

当振梁宽度增加时,力频系数降低了30%～34%,热弹性品质因数增加了155%～184%,振梁宽度对热弹性品质因数的影响略大于力频系数。值得一提的是,如果振梁宽度增加,不仅力频系数降低,振梁强度也会相应增加,同样导致传感器内载荷引起的轴向力变小,造成灵敏度降低。

为综合评价双端固支石英振梁长度和宽度对力频系数与热弹性品质因数的影响,构建目标优化函数

式（6）中,fσ,max[lmin∶lmax,wmin∶wmax]和QT,max[lmin∶lmax,wmin∶wmax]为优化尺寸内力频系数和热弹性品质因数的最大值,fσ和QT的计算方法见式（1）和式（4）。力频系数和热弹性品质因数分别除以其优化范围内的最大值,目的是进行归一化处理,使力频系数和热弹性品质因数的影响系数一致,从而可以更全面的表征两者对传感器性能的影响。

采用式（6）计算本文的音叉尺寸范围内目标优化函数的PF值。将离散计算的16个数据点带入式（6）的性能因数计算函数,得到的PF值如图7所示。从计算结果可以看出,随着振梁尺寸的变化,PF值从0.064增加到0.64,且变化趋势与振梁品质因数的变化趋势相类似。也就是说,振梁尺寸对品质因数的影响大于对力频系数的影响。为获得最优的PF值,得到最佳的力频系数和品质因数,需要将设计的振梁长度变短,宽度变宽。

图7 目标优化函数随振梁尺寸的变化曲线Fig.7 Variation curves of target optimization function with the dimension of vibration beam

在设计采用双端固支石英振梁作为敏感元件的传感器时,力频系数是影响灵敏度的因素之一。如果能够通过优化弹性元件弥补振梁力频系数的降低,可以优先考虑热弹性品质因数的优化。但是,随着振梁长度降低、宽度增加,振梁的一阶固有频率也会相应增加,对应的谐振电路亦需要进行改进。同时,振梁长度降低、宽度增加,说明振梁的刚度也增加,由弹性元件引起的振梁内轴向力也会损失,造成灵敏度的降低。为了获得高的灵敏度和热弹性品质因数,在设计双端固支石英振梁及其传感器时,需要综合考虑振梁尺寸、弹性元件结构等,在相互矛盾和制约中取最优解。

5 结论

本文详细分析了双端固支石英振梁的尺寸对力频系数与热弹性阻尼的影响,并且发现两者存在一定的相互制约和矛盾。在分析的尺寸范围内,当振梁长度增加时,力频系数增加了约1.6%～8.8%,而热弹性品质因数却损失了82%～83%；当振梁宽度增加时,力频系数降低了30%～34%,热弹性品质因数增加了155%～184%。综合考虑力频系数和热弹性品质因数的目标优化函数PF值从0.064增加到0.64,且变化趋势与振梁的品质因数相类似,说明振梁尺寸对品质因数的影响大于对力频系数的影响。为获得最优的PF系数,得到最佳的力频系数和品质因数,需要将设计的振梁长度变短,宽度变宽。在设计双端固支石英振梁及其传感器时,需要综合考虑振梁尺寸、弹性元件结构等,以获得最优的双端固支石英振梁尺寸。