例谈初中数学习题课的设计以及课堂教学——一节数学习题课的课例分析与思考

陈锦喜

广东省广州市华侨外国语学校 广东 广州 510095

习题课的基本目的是教师通过选择有效的习题，让学生解题的形式来形成学生的数学技能,并通过解题教学进一步培养学生数学的应用意识和能力。习题课教学还可以增强学生的理性认识,提高学生的辨别能力,可以多方面、多角度地培养学生的观察、归纳、类比等技能和能力。教师也可以充分地在习题课中看出学生的解题过程是一种独立的创造活动过程,适时适度地帮助学生解答，恰当时机有意识地培养和发展学生思维能力。

本人在一次区教研活动中承担公开研讨课，教学设计为一节习题课，以七年级数学下册第五章《相交线与平行线》中的平行线的判定与性质为主要知识背景，用小专题习题课的形式开展教与学，设计典型的例习题，以及习题变式训练。习题课设计前提是对学生原有的基础知识、学生现有的认知能力、学生原有的生活经验.、学生的情感因素等非常清楚：大部分学生在《相交线与平行线》中的平行线的判定与性质基础知识学习方面掌握得比较扎实，比较主动学习，各类测试的成绩优秀率在50%-60%，合格率在90%左右，后进生还是有4-5 人，所以兼顾后进生的习得也是本节课需要考虑的因素之一，教学内容的设计就必须讲究先易后难，深入浅出。另一方面，对大部分学生还是需要从更高的层次要求有效地锻炼他们的拓展探究思维，为此设计变式习题，满足更多有求知欲望，使各种类型的学生都有所收获，以下进行课例展示与分析。

（一）师：复习平行线的判定常用的方法：一个平行公理与判定定理；归纳与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：⒈由角定角：已知角的关系→（判定）两直线平行→（性质）确定其他角的关系.

⒉由线定线已知两直线平行→（性质）角的关系行→（判定）确定其他两直线平行。教师借助多媒体课件对本节课的核心知识和方法进行提点。

（二）课堂小测试

⒈如图，已知∠1=105°，要使m ∥n，则需∠2=（ ）

A.55° B.60° C.65° D.75°

⒉如图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断AB ∥CD（ ）

A.∠3=∠4 B.∠1=∠2 C.∠D=∠DCE D.∠D+∠ACD=180°

⒊如图，∠1+∠2=180°，∠3=108°，则∠4 的度数是________..

⒋如图所示，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2 的度数为___________..

⒌（2014·张家界）如图，已知a ∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（ ）

A.70° B.100° C.140° D.170°

师生行为：教师发下预先准备好的小测纸，学生利用5 分钟左右的时间完成，教师巡视学生完成小测，对每组做得快而且对的学生立即批改评价，然后让他们互相批改，对做得好的学生给予表扬，鼓励未完成但仍在努力的同学，这样的小测在教师的监督下独立完成解题过程，可以检验学生对学过的知识掌握的情况，以便查漏补缺，从而把学生的学习由被动变为主动，同时测试后对成绩好的同学及时表扬，对成绩差的同学及时帮他们查找与原因，并及时纠正错误，把模糊不清的知识弄懂学会。利用小测验试掌握教与学中存在的问题，对学生的情况了如指掌，从而做到有的放矢，事半功倍，提高教学质量和学生的.成绩。

反思：⒈数学课堂进行小测，一定会占用课堂时间，因此在课前充分做好准备工作，深度备课，选好测试的题目。⒉教师要及时批改、分析试卷，给予纠正，还要坚持才有效果。

（三）习题探究

例1、如图1 所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖边而过，如果第一次拐的角∠A=120°,第二次拐角∠B=150°,第三次拐角为∠C,那么∠C 的度数是多少时道路恰好和第一次拐角前的道路平行?

图1

图2

图3

师生行为：如图2 所示，想要判断直线AE 是否平行CF，需要用到什么条件，已知条件直接使用会有什么不足？在学生思考一番后,教师提示添加辅助线.并要求学生思考添加辅助线的作用。

方法一：解：过点B 作GH//CF，∵AE//CF ∴GH//AE//CF,∠ABH=∠A=120°

∴∠HBC=∠ABC-∠ABH=150°-120°=30°又∵∠HBC+∠C=180°,

∴∠C=180°-∠HBC=180°-30°=150°.

方法二：如图3 所示，延长AB，FC，FC 与AB 相交于D

∵AE//CF ∴∠BDF=∠A=120°∵∠ABC=150°∴∠CBD ＝180°-∠ABC ＝30°，

∠FCB=∠CBD+BDF=120°+30°=150°

教师鼓励学生从更多的角度思维出发，利用不同的方法解决问题。并及时小结类似这种问题的常用的解决办法：

⒈过平行线之间其中一个角的顶点做平行线。

⒉做适当的延长线,或者截线取出内错角，同位角、同旁内角等等。使学生对类似的问题初步有了一个具体的方法。

课堂上学生在自学、思考、交流例题解决的多种不同的方法，教师只做关键的提示，从“满堂灌”的“一线”退到“二线”，由解题方法的传播者变成学生学习的组织者、引导者。教师为学生自学、思考、讨论、答疑当好“参谋”，适当时候创造条件尽可能地让不同的学生有机会发表自己的见解，让学生由被动的接受变为主动的建构，真正成为课堂学习的主人，在关键时刻，比如学生对习题解决的办法已经“山穷水尽”时教师给以及时引导小结，使思路清晰明了。

（四）变式训练：例2、已知：如图，若AB ∥DE，则∠BCD=∠B+∠D，试说明理由。

师生行为：教师在总结例题1 的做法后，提示学生，根据图形特点，可以选择“做平行线”或者是“作延长线”，由学生讨论，并鼓励学生上台板演。

解法一：过C 作CF ∥AB，由AB ∥ED，得到CF ∥DE，∴∠B=∠BCF，∠FCD=∠D，

∵∠BCD=∠BCF+∠FCD，

∴∠BCD=∠B+∠ D.

解法二：如图，延长BC 交ED 于F,∵AB ∥ED ∴∠CFD=∠B,由三角形CDF 的内角和∠CFD +∠D=180°-∠FCD=∠BCD 即∠B+∠D=∠BCD

解法二需要用到三角形的内角和，有余力的学生还可能直接用三角形外角性质得出结论。

变式1、已知：如图，若∠BCD=∠B+∠D，则AB ∥DE，试说明理由。

通过条件与结论的变换，把平行线的判定与性质紧密联系。教师提示，证明直线的平行，可以通过平行公理，可以通过简单辅助线的添加得到平行线，通过角的关系引出平行线，并利用其性质。要求学生板演。

证明：过点C 作CF ∥AB，则∠B=∠BCF，

∠BCD ＝∠B ＋∠D=∠BCP ＋∠FCD，

∠FCD ＝∠D，∴FP ∥ED。而CF ∥AB，∴AB ∥DE。

师生：根据例题1 解题经验，还能否用别的办法做？

变式2、如图，已知：∠B=∠D+∠E，试说明：AB ∥CD.

过点E 作EG//CD，通过平行线的性质、判定及平行公理推论即可证得 .

证明：过点E 作EG//CD

∴∠DEG ＝∠D，∵∠BEG ＝∠FED+∠DEG

∴∠BEG ＝∠D+∠E 又∵∠B=∠D+∠E，

∴∠B=∠BEG，∴AB ∥EG

∵EG//CD,AB ∥CD

教师小结本题应用到的知识点：1.平行线的性质、判定；2.平行公理推论.

（五）说说今天你学习收获呢

1.判定直线平行的方法应用：

2.我们知道了“转化”的数学思想方法，通过添加简单的辅助线，使用“三线八角”判定两直线平行。

3.我们要学会用“推理”的方式解决数学问题.

设计意图：对本节课所学知识进行及时整理、巩固和提高，培养学生整理、归纳的习惯和能力。

（六）分层布置作业，鼓励学有余力的学生挑战难题。

1、如图：已知∠A=∠D，∠B=∠FCB，能否确定ED 与CF 的位置关系，请说明理由。

2、已知：如图，∠A ＝∠1，∠C ＝∠2。求证：AB ∥CD。

3、已知：如图，∠AOE ＋∠BEF ＝180°，∠AOE ＋∠CDE ＝180°，求证：

CD ∥BE。

4、已知：如图，若∠B=25°，∠BCD=45°，∠,CDE=30°，∠E=10°，试说明AB ∥EF 的理由。

选做题：1、如图所示，已知AB// CD，请解答下列问题：

（1）图（1）中1∠、∠ 2、∠ E之间具有什么关系？并说明理由。

（2）图（2）中的5 个角具有什么关系？

（3）图（3）中的7个角具有什么关系？你能得出什么一般性质结论。

2、如图，两直线AB、CD 平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 的度数。

设计意图：鼓励学有余力的学生积极思考，提高能力，树立信心，调动学生学习的积极性.

课例反思：这一节的内容虽然在新人教版教材没有专门安排，只是作为一节习题探究课的形式呈现.但这一知识点在平面几何学习过程中占据重要地位，而作为对学生主动学习知识拓展,一般的学校都不会用一节完整的课来学习这个内容，因为它不作为”常见的考试的内容”,所以设计本节课的内容存在争议。本节课的做法是，对教学内容进行了合理、大胆的重组、加深，通过证明推理题、计算推理题对平行线的判定进行了灵活的运用。注重学生的自己分析，启发学生用不同方法解决问题。在教学过程中，我主要做到：突出学生是学习的主体，把问题尽量抛给学生解决。老师作为学习的组织者，引导者，合作者，做好牵针引线的工作。这节课中，我除了作必要的引导和示范外，问题的发现，解决，练习题的讲解尽可能让学生自己完成。一节课下来,感觉讲解基本到位，并基本达到练习的目的，学生学得比较轻松，课后作业效果也很好，基本达到“轻负荷，高质量”的教学要求。

这节课我比较满意的是：

⒈学生顺利完成了学习目标；

⒉学生的小组合作已初见成效；

⒊课堂上有意识地锻炼学生使用规范性的几何语言；

⒋注重由学生从临摹书写到自主书写，锻炼学生的动手能力。

但仍然存在很多不足的地方：

⒈课堂气氛不理想；课堂升华不高；探究学习材料比较单一；

⒉例题1 的探究占用时间过多，从而使后面的环节有些仓促；

⒊对个别后进生的辅导照顾不够等；没有兼顾到学生的差异。如果在这几个方面处理的更好一些的话，效果会更好。通过本节课对习题课的再思考：

⑴关注课堂时效，走近学生，教 师在授课时，深入了解学生，细致入微地观察学生的内在思想和学习中可能出现的问题和困难。本案例中，学生到底需多长时间停留在“毫无希望”的数学抽象思维境地？教师“操之过急”会使多少学生丧失学习数学的信心？课堂是活的，在深入研究 本班学生的基础上，面对有思想的学生，教师随机应变，及时调整教学设计方案及教学思路，教师不能以自己对知识方法的理解方式来作为学生接受的理由，不能忽视学生对新知识也有一个分析、理解和吸收的学习过程。教师只有将学生已有的知识、经验作为教学的出发点，教学才能做到以人的发展为本。

⑵关注学法，重学习过程 新课程提倡在数学学习过程中，以具体问题为载体，创设一种类似于科学研究的情境和途经，引导学生自己去探究，通过学生的亲身实践获得体验，让学生逐步形成善于质疑、乐于探究、努力求知的积极态度。数学教学是数学活动的教学，是师生之间、生生之间交往互动及共同的发展。教师适时关注学生在数学活动中的体验、认识和差异，引导学生有效进行探究、交流、总结等，形成有效的信息通道相，掌握感悟相应的方法和经验，营造一个学生乐于探索交流和相互学习的良好氛围，这远比课堂上教师机械的“一问一答”效果好。

⑶关注教法，培育学习共同体整个数学教学的课堂上存在一个“学习共同体”，这个数学学习共同体需要交流、多向互动、有效调控。教师营造一个适合学生思维发展的空间，由学生主动地提出问题，学生在学习过程中遇到困难时，先把机会交给学生。只有师生之间、生生之间体验交流彼此的想法、存在的问题及其原因，才能使分析透彻、思想清晰、思路明确、因果分明、逻辑清楚，真正实现教学中心由教师变为学生，教学形式由“灌输”变为“主动建构”，真正体现了学生学习的主体地位，实现《学记》中提出了“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”的教学要求。