基于改进平滑L0范数的块稀疏信号重构算法

冯俊杰 张续文

摘要：本文提出一种基于负指数函数的平滑L0范数（SL0）块稀疏信号重构算法。首先，构造负指数函数作为代价函数，通过构建控制参数序列，求解代价函数的最优值。其次，采用单循环结构迭代求解，并增加比较修正步骤，确保搜索方向沿着最速下降方向。仿真结果表明，本文算法具有较好的重构效果。

关键词：块稀疏信号;平滑L0范数;重构算法;代价函数

中图分类号：TP3      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2019）21-0234-03

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Abstract： To solve the problem of block sparse signal recovery when the block sparsity is unknown， a revised smoothed L0 norm （SL0） block sparse signal reconstruction algorithm is proposed. Firstly， the negative exponential function is proposed as the smoothed function， the optimal value of the cost function is solved by constructing the sequence of control parameters. Secondly， single cycle structure is  used for iterative solution， a comparison correction step is added to ensure that the search direction is the steepest descent direction.The simulation results show that the proposed algorithm has advantages over other algorithms.

Key words： Block sparse signal; Smoothed L0 norm; Recovery algorithm; Cost  function

压缩感知（Compressive Sensing）理论是近几年提出的信号处理的一种新理论[1-2]。其主要的思想是，对于高维信号在某组稀疏基或变换域中具有稀疏性或可压缩性，则可以稀疏信号重构算法从低维的测量值恢复出原始信号。可以实现信号采样、A/D 变换、变换编码的成本。因此受到国内广泛关注，在图像处理、模式识别、语音信号处理等领域有着重要应用。

稀疏信号重构是压缩感知理论的重要步骤，实现由低维信号重构原信号的过程。如果稀疏信号的非零值、零值是成块的，我们称为块稀疏信号。在信号重构时，如果不考虑信号的结构特征，会产生重构误差。

针对块稀疏信号重构，本文采用负指数信号作为平滑函数，通过控制参数逐渐减少，使平滑函数逐渐逼近L0范数的最优解。采用单循环代替SL0[3]的双循环结构，并增加比较修正步骤，保证重构精度的同时提高运算效率。

1 块稀疏信号

通过控制逐渐递减的参数序列[σ1 σ2…σJ]，求解代价函数的最优值。由于[σ=σj]时的解仅作为[σ=σj+1]时的初始值，本文算法采用单循环结构优化求解，通过一次梯度下降法求平滑函数的极小值，减少算法的运算量。最速下降法理论上是在迭代求解的过程中，代价函数值是下降的。但在优化求解中，最优解不一定沿着下降方向。因此在算法中增加了比较步骤，如果代价函数的迭代值没有沿下降方向搜索，取前一个搜索值和当前搜索值的中点进行迭代，保证沿最速下降方向搜索。整个算法如下：

3 仿真结果

块稀疏信号为[y=Φx+n]，稀疏矩阵[Φ]为[80×160]，元素服从均值为0方差为1的正态分布。信号[x]为块离散信号，块长度为[d=8]，包含20个块稀疏信號。噪声[n]为高斯白噪声。重构均方误差MAE定义为MAE=[10log10x-x2N]，[x]为原始信号，[x]为重构信号。把本文算法（BSSL0）与BOMP算法[4]、BCoSaMp算法[5]、BSL0算法[6]、BSPG L1算法[7]进行比较。几种算法的重构性能对比如图1、图2、图3所示。可以看出本文算法在重构速度上明显快于BCoSaMp算法和BSPG L1算法。在相同块稀疏度下，本文算法具有较好的重构效果。

4 结束语

充分考虑稀疏信号的块状结构特点，提出一种改进SL0范数块稀疏度稀疏信号重构算法。采用单循环结构，在每次迭代中增加比较步骤，保证沿最速下降方向搜索最优值。仿真结果表明该算法是综合性较好的重构算法。

参考文献：

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[6] Hamodo-Ghalehjegh S， Babaie-zadeh M， Jutten C. Fast Block-sparse Decomposition Based on SL0[C]// Proceedings of the 9th International Conference on Latent Variable Analysis and Signal Separation： Berlin， Germany： Springer 2010： 426-433.

[7] Van Den， Friendlander M P. Sparse optimization with least-squares constraints[J] .SIAM Journal on Optimization， 2011， 21（4）： 1201-1229.

【通联编辑：梁书】