中职一元二次不等式应用题教学初探

洪丽莉

[摘           要]  一元二次不等式应用题的教学不仅应该结合学生的学情，而且应用题的设置要紧贴生活实际。中职学生通过学习一元二次不等式的实际应用，一方面可以加强学生对一元二次不等式解题步骤的巩固，另一方面通过实际应用学生可以体会到实际生活和数学的密切联系，从而达到学以致用的目的。

[关    键   词]  一元二次不等式;应用题;教学

[中图分类号]  G712                 [文献标志码]  A              [文章编号]  2096-0603（2019）19-0072-02

在实际生活中存在着很多的不等量关系，这些都需要用不等式来进行解决。在中职数学中，一元二次不等式的解法占有很重要的内容，同时这也是我们进一步学习不等式的重要基础。通过教学，学生已经能初步掌握解一元二次不等式ax2+bx+c>0，ax2+bx+c<0的基本步骤：（1）化成标准形式;（2）判定△的符号;（3）求出方程ax2+bx+c=0的实根;（4）写出不等式的解集。整个过程可以简记为：一化、二判、三求、四写。

基于学生已经初步掌握一元二次不等式解法的基础上，笔者结合生活中的实际问题，借助数学建模的思想，将实际问题用一元二次不等式模型来建立，让学生了解一元二次不等式的实际应用，不仅可以锻炼学生的解题能力，同时也能提高学生学习数学的积极性。由于涉及一元二次不等式的解法和应用题的题型，作为教师，如何很好地将一元二次不等式与应用题结合起来进行教学，同时培养学生一元二次不等式应用题的解题能力，我觉得应该从以下几个方面入手：

一、培养学生应用题的审题能力

由于中职学生的数学基础知识不牢固，加上平时的阅读量较少，而应用题的文字描述较多，数学符号也多，涉及范围较广，因此很多学生一看到应用题心里的第一反应就是放弃。事实上阅读能力是所有基础学科的要求，但是单单培养学生的阅读能力，不足以让学生明白应用题的要求，因为数学是一门严谨的学科，而一道应用题里可能就包含分类、比较、推理等活动。因此，要培养学生的应用题读题能力，对应用题的分析要求学生不能急于计算，要留有思考的余地。首先得认真仔细地审题，找到题目中的关键字句和数字，排除干扰信息，把握题目的设计意图，抓住题目条件内在联系，将所学过的数学知识与题目的问题联系起来，只有理解了题目所表达的意思，才能进一步借助数学建模，将实际问题转换成数学问题。

二、应用题的选取应具备生活化

为了调动学生学习的热情，笔者认为一元二次不等式应用题的选取应注重生活化，在学生初步掌握了一元二次不等式的解法后，应用题的出现实际上对学生提出了更高的要求，很多学生一听到应用题内心会自动排斥，认为应用题肯定会很难，很偏离生活。因此，为了让学生切实体会到一元二次不等式的应用，教师在设置题目时应将题目尽量生活化，消除学生对应用题的恐惧感，拉近学生与应用题的距离。一元二次不等式的应用题很多都与利润问题有关，作为中职教师可以从这点入手，利润题也是中职学生会感兴趣的题目，尤其对财会相关专业的学生来讲，这类型题目与他们的专业课有一定的联系，因此，应用题的设置应从学生熟悉的事物入手，让学生感受到身边的数学，体验了数学的实际作用并体会到数学的魅力。

三、题目的设置应尽量简单化

由于中职生的数学基础薄弱，再加上学生面对应用题存在畏难情绪，笔者认为一元二次不等式应用题的设置应简单化、贴合学生的实际能力，简单的应用题能让学生找回学习数学的信心，提高他们的积极性。所以教师在初步设置一元二次不等式应用题时，可以事先将变量之间的关系在题目当中交代清楚，学生只要根据变量的关系相应地列出不等式即可。在学生对一元二次不等式的应用题有了一定了解后，教师可加大一点难度，在题目中函数关系不直接给出，而让学生试着根据题目要求找出函数关系，并列出不等式，循序渐进，让学生先产生自信心，继而让学生化被动学习为主动学习。

比如以下三道一元二次不等式应用题的设置就很好地体现了以上几个特点：

（一）一元二次不等式在利润方面的应用题

例1.某水果店销售的一款进口樱桃正在做特价，已知销售的这款樱桃重量x（公斤）与创造的利润y（元）之间有如下的关系：y=-x2+50x，如果这家水果店计划一天内通过销售这款樱桃产生不低于600元的利润，那么一天内大约应该销售这款樱桃多少公斤？

【题目分析】本道题目是一道典型的利润题，题目当中已经明确列出y和x之间的关系，教师应引导学生抓住题目中的关键句y=-x2+50x，学生通过审题，可以自行找出函数式和600之间的不等式关系。

解：设一天内销售这款樱桃x公斤，依題意得

-x2+50x≥600

整理，得x2-50x+600≤0

∵△=（-50）2-4×600=100>0

∴方程x2-50x+600=0有两个实数根x1=20，x2=30。

所以不等式的解为20≤x≤30。

当这家水果店在一天内销售这款樱桃的重量不小于20公斤且不大于30公斤时，这家水果店能够获得不低于600元的利润。

【评析】这是一道很典型的利用一元二次不等式来解决的应用题，对这种题目学生只要按照四个步骤来做题，基本就可以获得相应的解题思路。这四个步骤分别为：（1）审题，找出关键量和不等关系;（2）引进数学符号，用不等式表示不等关系;（3）解不等式;（4）回到实际问题。对中职的学生而言，要将一道应用题用数学语言描述出来是有一定难度的，所以这道题目的设置，将y与x之间的函数关系写在题目中，这样在一定程度上就降低了题目的难度，学生只需要根据题目的要求将不等式列出即可。在解题过程中，由于本道题a<0，因此在解答时需将不等式化成标准式，这个转化的过程对个别学生来说会忘记做，从而导致计算出错，因此教师在讲解时，应强调转化的步骤。

例2.某制鞋廠生产一款运动鞋，日销货量x双与货价P元/双之间的关系为P=200-3x，生产x双所需成本为C=400+20x元，问：该厂日产量多少双时，日获利不少于2000元？

【题目分析】通过第一遍审题，学生第一反应会无从下手，此时，教师应从旁进行引导，抓住关键句：日销货量x双与货价P元/双之间的关系，将两者相乘，算出日销售额，接着让学生进行第二遍读题分析，引导学生注意观察题目的问题与利润有关，因此，日获利=日销售额-成本，这个关系学生可以自行发现，并能顺利地列出不等式。

解：设该厂日获利为y元，则

y=Px-C

=（200-3x）x-（400+20x）

=-3x2+180x-400

由题意y≥2000知，-3x2+180x-400≥2000

整理，得x2-60x+800≤0

∵△=（-60）2-4×800=400>0

∴方程x2-60x+800=0有两个实数根x1=20，x2=40。

所以不等式的解集为：{x∈N* 20≤x≤40}

当日产量不小于20双且不大于40双时，日获利不少于2000元。

【评析】这道题目解题的关键是将利润y表示为日销量x的函数，根据日利润=单价×日销售量-成本，就可以将y与x之间的函数关系列出，最后下结论时要注意x的取值为正整数。本题比例1稍微复杂一点，在题目难度的设置上，遵循学生的认知规律，循序渐进，由浅入深，化难为易，慢慢引导学生层层深入，体现了知识结构的科学性、条理性和严密性。

（二）一元二次不等式在长度方面的应用题

例3.某集团公司打算在长为40米，宽为30米的一块长方形地面建造一个长方形儿童游乐园，要求游乐园四周余下的空地修建成同样宽的通道，如果游乐园的面积不小于总面积的一半，求通道的宽度范围。

【题目分析】学生从题目的描述不一定能明白“游乐园四周余下的空地修建成同样宽的通道”这句话的意思，因此教师应引导学生将题目再读一遍，同时边审题边画图，只要把图画出来，那么这题也就成功了一半，本题还涉及长方形的面积公式，有了图形，假设通道宽度为x，利用x算出游乐园的长和宽，学生就可以自然而然地列出不等式。

解：设通道宽度为x米，依题意得

（40-2x）（30-2x）≥（1/2）×40×30，其中0

整理，得x2-35x+150≥0

∵△=（-35）2-4×150=625>0

∴方程x2-35x+150=0有两个实数根x1=5，x2=30。

解得0

故所求通道的宽度范围为（0，5]

【评析】这是一道先建立函数与不等式的模型后解不等式的题目，本道题通过图示可以直观地看出游乐园场地和通道之间的关系。在计算游乐园的长度和宽度时，学生容易出错，因此，教师在讲解时应引导学生画好关系图，通过关系图的直观演示，学生才能顺利列出游乐园长度为（40-2x）米，宽度为（30-2x）米。本题还有个容易出错的地方是通道的取值范围，在列完不等式之后，由于游乐园面积是正数，所以要先注明通道的范围是0

由此可见，一元二次不等式的应用题可以提高学生的实际应用能力，通过提出问题、分析问题、解决问题，学生在这个过程中学会数学建模，学会用数学知识来解决生活中的问题，这对学生的能力来讲是一种很好的锻炼。而教师在设置题目当中切忌不可将题目设置得太难或者太脱离实际，学生学习能力的提高没办法一蹴而就，而应该先立足于学生的兴趣和能力，以此为基础，为学生量身定制出属于他们的例题。

总的来讲，应用题的教学一定要跟学生强调读题的重要性，不可贪快，应该认真研读题目当中的关键字句，这些都是解题的关键步骤，同时也是培养学生良好学习习惯的基础。而一元二次不等式的应用题是学生在中职数学当中初步接触到的综合型题目，教师在教学中要充分发挥引导的作用，不仅要引导学生读懂应用题，在解题过程中还要引导学生回想一元二次不等式的解题技巧，从而引起学生主动学习的兴趣，形成良好的课堂学习气氛，提高课堂的教学效果。

参考文献：

[1]景春华.中职数学应用题解题训练策略的几点意见[J]. 课程教育研究，2016（23）.

[2]顾龙祥.如何提高中等职业学校学生数学运算素养：以一元二次不等式的解为例[J].职业，2018，477（15）：104-105.