余弦定理在一类解三角形问题中的“功”与“理”

杨亚军

摘 要 我们在平时的教学或学习中，掌握典型问题的解法很重要，但弄清楚每種解法的理论依据，真正体会到不同解法的优劣所在及其根源，特别是能大胆质疑一些貌似合理的“画蛇添足”之笔，对提高我们的学科素养和解题能力必能产生事半功倍的效果。探索余弦定理在解决已知“两边一对角”这类三角形中的“功”与“理”就是一次很好的实践。

关键词 正弦定理 余弦定理 解法依据

中图分类号：G633.6文献标识码：A

正弦定理、余弦定理在解三角形中，有各自更适合使用的情境。解三角形的四类基本问题中，已知“两边及一对角”是学生感觉相对困难的一种类型。对这种类型的问题，初学者一般都用正弦定理，但这样处理的麻烦在于：必须根据题目的已知条件对该角取锐角或是钝角的可能性进行判断，但用余弦定理解决，就能回避这个麻烦。

下面就余弦定理在解决“两边及一对角”这类问题中的“功”（比较优势）和“理”（科学依据）做一些粗浅的探索。

用余弦定理解决“两边及一对角”的“功”：回避了判断该三角形有几解这一难点，只需根据余弦定理列出关于第三边x的一元二次方程，求解该方程即可。

笔者注意到，在有些资料中，在用余弦定理求解这类问题时，强调要对该三角形解的情形进行判断——这个要求就是貌似合理的“画蛇添足”之笔。下面具体探讨余弦定理在解决这类问题中的“理”。

在%=ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c。若已知边a，b及角A，求%=ABC的边c及角B，C。

若用正弦定理解决，可根据题目的已知条件，分为以下几种具体情形解决：

①若b

②若b=a，A则%=ABC不存在，其无解;

③若b=a，A<，则%=ABC只有一种情形，其解唯一;

④若b>a，A，则%=ABC不存在，其无解;

⑤若b>a>bsinA，A<，则%=ABC有两种情形（锐角、钝角三角形各一），其有两解;

⑥若b>a=bsinA，A<，则%=ABC只有一种情形（必为直角三角形），其解唯一;

⑦若b>a

若用余弦定理解决，不妨设c=x（x>0），由余弦定理可得关于x的一元二次方程：x22bxcosA+b2a2=0（※）。解此方程，若该方程无实数解或无正实数解，则该三角形不存在;若该方程有正实数解，则其正实数解就是该三角形第三边的长度，且该方程正实数解的个数对应该三角形可能情形的种数。

为了叙述的方便，不妨设方程x22bxcosA+b2a2=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=2bcosA，x1·x2=b2a2，且该方程的判别式%==4（a2b2sin2A）。

对情形①若b0，x1I6x2=b2a2<0，故方程（※）一定有唯一正实数解。

对情形②若b=a，A，显然判别式%==4（a2b2sin2A）0，x1I6x2=b2a2=0，x1+x2=2bcosA0，故方程（※）一定没有正实数解。

对情形③若b=a，A<显然判别式%==4（a2b2sin2A）>0，x1I6x2=b2a2=0，x1+x2=2bcosA>0，故方程（※）一定有唯一正实数解。

对情形④若b>a，A，显然x1I6x2=b2a2>0，x1+x2=2bcosA0，故方程（※）要么没有实根，要么其有实根时，其根均非正，故方程（※）一定没有实数解或正实数解。

对情形⑤若b>a>bsinA，A<，显然判别式%==4（a2b2sin2A）>0，x1I6x2=b2a2>0，x1+x2=2bcosA>0，故方程（※）一定有两个不同的正实数解。

对情形⑥若b>a=bsinA，A<，显然判别式%==4（a2b2sin2A）=0，x1=x2=bcosA>0，故方程（※）一定有两个相等的正实数根。

对情形⑦若b>a

至此，我们对用余弦定理求解“两边及一对角”这类问题时，没必要“对该三角形解的可能情形进行判断”有了理性、深刻地认识。而这一点，恰恰也是使用余弦定理求解这类问题的优势所在：思路清晰，操作方面，方程正实数解的个数对应该三角形可能情形的种数，该正实数就是该三角形相应的边长。进而，在三角形中，由三边长用余弦定理求三角形的内角，不存在钝角、锐角的取舍问题;若用正弦定理求三角形的内角，关于钝角、锐角的判断是必须的，而这也是一个难点。

任何事情有利就有弊，使用余弦定理解决这类解三角形问题时的运算量偏大。正弦定理在解决这类三角形的优势在于：在熟悉三角形边与角之间的大小对应关系的前提下，特别是在掌握了判断这类三角形可能情形的方法后，其运算量更小，更快捷些。

比如，在%=ABC中，a=x，b=2，B=45叭魛%=ABC有两解，求实数x的取值范围。象这类题目，用余弦定理，再结合一元二次方程根与系数的关系也能解决，但显得关系较复杂而且运算量大。若用正弦定理，结合图形，可直接得到x>2>xI6sin45埃騲的取值范围为（2，2）。

参考文献

[1] 严士健，王尚志.数学必修5[M].北京师范大学出版社，2018：47-55.

[2] 王彦文.（经典）最全余弦定理的10种证明方法[A].高中教育，2017.