基于指数分布第K次序统计量试验寿命可靠性评估方法

牟园伟，陆 山

（1.中国航空发动机研究院，北京101304；2.西北工业大学动力与能源学院，西安710072）

0 引言

建立合理和良好的定寿方法以确定发动机零部件或系统寿命，是航空发动机研制的迫切需要。以涡轮盘为例，从20世纪60年代起，逐渐发展验证了由全尺寸盘试验给出带可靠度的预定安全寿命定寿方法[1-4]。不同的零部件或系统由于使用要求和故障模式的差异，其安全寿命定寿方法也有所不同[5-10]。寿命英国国防标准DEFSTAN 00-971[11]在假设寿命服从对数正态分布的前提下，采用散度因子法处理试验寿命，给出了轮盘基于最差试件寿命、最好试件寿命和中位寿命的安全寿命，但仅限于寿命散度等于6，即对数寿命方差滓=0.13的特殊情形；文献[12]给出了寿命服从对数正态分布、基于n个子样中任意第k次序统计量的试验寿命分散系数计算公式；对于寿命分布服从威布尔分布的零件，美国空军《航空涡喷涡扇涡轴涡桨发动机通用规范》[13]中给出了零件可靠寿命零故障试验设计示例，其中用到置信度为90%时的2个寿命试验设计系数表。但相关文献均未给出试验设计方法的理论公式及相应系数表构造方法。对此，文献[14]解析该试验设计方法的理论公式和系数表构造方法，并给出置信度95%时的2个寿命试验设计系数表。对于发动机系统或其电子器件，寿命近似服从指数分布，但还没有文献给出该类试验设计方法。

本文拟解析该试验设计方法的理论公式和系数表构造方法，给出置信度为90%、95%时的2个寿命试验设计系数表，并给出采用该方法进行寿命可靠性试验设计算例。

1 基于指数分布第k次序统计量的寿命可靠性评估

假设寿命分布服从指数分布，试验寿命t的第k次序统计量 T（k）的分布函数[15]为

式中：Vn（t）为总体T作n次重复独立观测事件{T臆t}出现的次数。

次序统计量的密度函数等于其分布函数的1阶导数

在k=1和k=n时，分别是最小次序统计量T（1）和最大次序统计量T（n）。

某器件母体的故障时间分布服从指数分布

式中：姿为失效率。

设（T1，T2，…Tn）为取自母体的随机样本，n 为子样数。将母体故障时间分布函数与k=1代入式（2）并积分得

将母体故障时间分布函数与k=2代入式（2）并积分得

采用数学归纳法导出第k次序统计量的分布函数

令t酌为置信度1-酌时的单侧置信限，可建立如下概率条件

由式（6）、（7）可得到基于第k故障试验寿命的可靠性评估通用公式。

当k=1时

在已知置信度1-酌、样本数n和失效率姿条件下，可得出第1个失效试件的失效时间下限

在t1时刻，n个样本零故障；反之，已知试验时间、置信度和失效率也可求出所需试验样本数

在已知置信度1-酌、样本数n条件下，求得方程大于0小于1的根y2，可得出第2个失效器件故障时间下限

在t2时刻，n个样本只发生1次故障。

2 可靠寿命试验设计用系数表

根据式（9）、（10）计算得出零故障试验方案中置信度为90%时姿t1及样本数n的系数，见表1、2。从表中可见，本文结果与文献[14]中给出的相应数据几乎一致，说明本文所推导公式正确，可利用其编程计算零故障或小子样故障可靠寿命试验设计用系数。基于第k类故障的可靠寿命试验设计用系数见表3、4。

表1 零故障（k=1）可靠寿命试验设计用系数

表2 零故障（k=1）可靠寿命试验所需样本数

表3 基于第k故障的可靠寿命试验设计用系数姿tk（置信度为90%）

表4 基于第k故障的可靠寿命试验设计用系数姿tk（置信度为95%）

3 可靠寿命试验设计算例

算例1：已知某系统寿命分布服从指数分布，选定子样数n=4，置信度1-酌=95%，系统在t=50 h时，可靠度R=99.9%，要求确定最短零故障试验时间。

寿命指数分布可靠度为

该系统寿命在50 h时，可靠度目标是99.9%，即R（50）=99.9%。由式（14）解出对应的失效率为2.001×10-5。由表4查得子样数为4时，姿t1=0.749，t1=37431.3，第1个失效系统的失效时间下限为37431.3。因此，为了满足50 h时可靠度R=99.9%，必须将4套系统试验到37431.3 h，而没有1套系统发生故障，则试验通过。

算例2：已知某器件寿命分布为指数分布，子样数为20，置信度为90%，失效数为5，试验时间为1000 h，求可靠度为99%时的器件寿命。

已知第6个失效器件的失效时间下限为1000 h，则t6=1000，由表3查得子样数为20时，姿t6=0.536，姿=0.536×10-3，由式（14）得出可靠度为99%时的器件寿命为18.8 h。

算例3：已知某批器件寿命分布服从指数分布，子样数为10，试验时间为10000 h，要求可靠度为99%，置信度为0.95的寿命为100 h，估计可以接受此批器件的故障数最大值。

已知R（100）=99%，由式（14）得出失效率为1.005×10-4，tk=10000，姿tk=1.005。由表 4 查得子样数为 10 时，姿t4=0.933，姿t5=1.192，4

4 结论

（1）推导了寿命服从指数分布时，基于第k次序统计量的试验寿命可靠性理论计算公式。通过在给定参数下计算所得的结果与文献[14]中的相应值进行比较，验证了计算公式的正确性，并通过算例说明了该公式在可靠寿命试验设计中的应用。

（2）给出了置信度为90%、95%时基于第k次序统计量的可靠寿命试验设计评估表。在给定置信度、破坏数、可靠度、试验截止时间、样本数的情况下，根据该评估表可确定试验对象的可靠寿命，也可以给定可靠寿命反推试验截止时间或者其故障数。综合考虑试验件数量及试验时间，可对寿命可靠性试验进行成本优化设计。