高中数学几何概型在生活中的应用

2019-09-13张宸畋

魅力中国 2019年29期

张宸畋

（重庆市第十一中学校，重庆 400000）

数学(mathematics)，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门科目，在某个方面来说它是属于一种形式科学[1]。其中的几何概型是一种概率的模型。在这个模型中，随机试验的所有可能结果是无限个的，并且每个基本结果的可能性都是相同的。几何概率的学习能够促使我们更好地解决生活中遇到的一些问题，特别是在大数据信息化快速发展的时代，数学知识与现代信息技术的有效结合，并借助使用计算机或云计算进行随机模拟，可以得到我们想要的结果。同时，数学的学习也为高校学生继续研究概率论和计量理论奠定了基础。

一、几何概型的定义和特点

（一）定义

如果在我们的生活中，每件事情发生的概率仅与该事件本身的属性（如面积、长度、重量）等因素成正比，则这种概率模型我们称之为几何概率模型[1]。

例如，一项随机试验中，我们将了解每个基本事件从特定区域几何随机挑选的，在每一个点被送往的机会是相同的，和一个随机事件的发生仅仅理解为到达指定区域中的点。该区域可以是一条线段，也可以是平面图形，更可能是三维图形，这样处理随机的试验的方法，称为几何概型。

几何概型与古典概型相反，是将等可能事件的概念从有限个向无限个的蔓延，几何概型与古典概型的区别在于有无限个的试验结果。

（二）特点

几何轮廓有两个主要特征。一个是无穷大，也就是说，实验中可能会出现无限多的基本事件（结果）。第二种可能性是每个基本事件都有相同的发生概率。

二、几何概型在生活中应用广泛

在现实生活中，数学无处不在，而几何概型也广泛应用于社会的方方面面，农业和工业生产、体育和科技活动、人们的日常生活等方面都能够见到几何概型的身影。

（一）简单的几何概型的应用

1.剪彩活动

剪彩的要求是把3米长的彩段剪成两段，每段不能少于1米，那么能够达到这个要求的概率是多少呢？为了研究方便，我们用长度为3米的线段AB来代替彩段，设剪断点为点P，那么点P落在线段AB上每个点的可能性都是一样的，根据剪彩要求点P离A点的距离和点P到B点的距离都不小于1米，首先我们可以在线段AB上随机选两点，分别为C点和D点，使得线段AC和线段DB的长度都为1米，这样P点只能落在CD区间上，记“彩段被剪成两段，每段长度不小于1米”为事件B，那么事件B的概率就是线段CD的长度与线段AB长度之比，也就是1/3。从这个事件，我们看出事件的概率是部分长度与整条长度之比[2]。这个概率与几何度量有关，这个就是几何概型。

2.公司选址

资料显示，在城市ABCD中，是一个30m×40m的矩形区域，而黄金地区域是以点A为圆心，20m为半径的四分之一圆区域。那么公司选址恰好选在黄金地段的概率有多大呢？我们把公司看作一个点M，那么点M落在整个矩形区域内的每个点的可能性都是相等的，我们记公司选址恰好选在黄金地段为事件B。从这个问题我们可以看出，事件的概率应该是部分区域的面积与整个区域的面积之比，而这个部分区域的面积恰好是四分之一圆面积，而整个面积为矩形面积，这个计算结果是π/12。

（二）复杂的几何概型的应用

1.约会马云

假如一个老板与马云约在晚上8点到9点之间会面，先到者等候另一个人20分钟后可以离开，那么这位老板和马云能会面的概率是多大呢？假设到达的时间分别为8点x分和8点y分，那么x、y必须满足大于等于0，且小于等于60。所以老板和马云两人能会面的充要条件是∣x-y∣≤20。以有序实数对（x,y）表示平面上的点的坐标，那么满足条件的区域与整个矩形面积之比就是两人会面的概率。

对于复杂的二维几何概型，我们解决过程中可以做到以下几点：

（1）构造变量

（2）集合表示

（3）作出区域

（4）计算求解

2.在奖品的诱惑面前要冷静

现实生活中我们经常看到这样的场景，比如在一所小学的入口处设置了一个游戏（如图），以吸引许多上学和放学的小学生过来消费。具体游戏规则是这样的，小学生每转动一次转盘就要付5角。如果指针与阴影重合，则奖励5角；如果连续重合2次，则奖励铅笔盒为1个；如果重复3次，则奖励文具盒1个；如果重复4次，则奖励游戏手柄一台。许多学生被高价值的奖品所吸引并参与到这个游戏中，但很少有人获得奖品。为什么？

这个问题我们可以用几何概率来解释。由于指针位于圆的阴影部分，圆周周长为100cm，圆周上阴影部分的每条弧长为2cm。指针的几何形状和对称性知道指针落在阴影上的概率是：

通过公式计算，同学玩一次游戏得到奖品的概率为0.08.而且每次转动转盘都是属于独立的事件。A⋅B 表示事件， A 与B 表示同时发生，则P(A ⋅B)= P(A)⋅ P(B)，设Ai={指针与阴影连续重合i次}，则：