柳卡问题新解

法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士。他对射影几何与微分几何都做出了重要贡献。在某次国际科学会议期间，一次有许多著名数学家参加的晚宴上，柳卡突然向在场的人们提出了如下被他称之为最困难的题目——人们称它为“柳卡趣题”。

每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国的纽约且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔。轮船在途中都需要七天七夜。假定所有的轮船都以同速匀速、同一航线行驶，问今天中午从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？

它难倒了在场的所有数学家，连柳卡本人也没有彻底解决。后来有一位数学家通过下面的图解法，才使问题最终得到解决。

解：在平面tox上，ot轴代表时间，ox轴代表位置，用两条横线分别表示勒阿佛尔港和纽约港，画出它们的时间——位置曲线（如下图）。从勒阿佛尔开出的轮船的时间-位置曲线用实线表示，从纽约开出的轮船的时间-位置曲线用虚线表示。因为实线与虚线相交15次，所以这艘轮船将遇到15艘輪船。从图中可以看出，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达勒阿佛尔），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇;另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜。

上面采用图解法给我们的印象非常直观形象，但有一个缺点是：假如再给出一道甚至是几道类似题目，在很短的时间内去完成作图是相当麻烦的。到底能不能用代数方法解决呢？

由此我得出了一个公式（我称为“柳卡公式”），来计算相遇的次数和相遇时间。规定[X]表示X的整数部分。如图：A、B两地之间的距离用S来表示，从A发出的船速用VA表示，从B发出的船速用VB表示，发船间隔时间用T表示，问从A出发的船到B 的过程中，将碰到多少只从B出发的船？每次相遇时从A出发的船所用时间为多少？（说明：题意同柳卡问题类似，有些地方介绍得不够详细）

设相遇次数为N，第n次相遇时从A出发的船离开A的时间为t。

作者简介：盖景伟（1973.9—），男，汉族，山东省东营市人，本科，初中数学教师。

编辑 刘瑞彬