立足核心素养 精心设计课堂

李雪静

摘 要：完全平方公式是苏科版数学七年级下册第九章《9.4乘法公式》的一个内容，同时也是本章《9.5多项式的因式分解》里的一个内容，所以，本节课的学习要让学生充分地了解这节课的完全平方公式是“整式乘法”里的“完全平方公式”，同时，教学中还要注意公式结构特征的渗透.就整个初中阶段而言，完全平方公式起着举足轻重的作用，它是打开代数宝库的一把金钥匙.

关键词：七年级数学;完全平方公式;设计;实验操作;引导

一、教材分析

《9.4乘法公式（1）——完全平方公式》是蘇科版七年级下册的内容，是继《9.3多项式乘多项式》后再学习的一种特殊的两个相同二项式的乘法，进而得出完全平方公式.完全平方公式在这一章起着承上启下、举重若轻的作用，它不仅给我们带来运算的简便，而且逆向应用还可进行后面因式分解的教学.正因为公式的重要性，所以在上课时选用数形结合和多项式乘法两种方法推出公式.前者是借助图形让学生对完全平方公式有一个直观的认识，后者则是从特殊的整式乘法推出公式，以利于学生理解公式的几何、代数意义.这两种推理不仅可以培养学生的符号意识，而且还可以使学生进一步感受数形结合、由一般到特殊的数学思想.

教学目标：（1）理解、掌握完全平方公式及结构特点;（2）经历探索完全平方公式的过程，进一步感悟数形结合的思想，发展符号感和推理能力，了解化归思想;（3）能正确运用完全平方公式进行计算.

教学重、难点：能够熟练掌握完全平方公式，正确运用完全平方公式进行计算.

二、教学设计

布鲁纳曾说过：“学习者在一定的问题情境中，经历对学习材料的亲身体验和发展过程，才是学习者最有价值的东西.”基于这一理论，故创设问题情境时，要从符合当前学生的兴趣入手，这样才能使学生人人都积极参与课堂，人人都有所发现.

1.创设情境 激发兴趣

本节课引入从学生所熟悉的、感兴趣的事物入手，播放动画视频《阿凡提》片段：从前有一个贪心的财主，人们叫他巴依老爷.巴依老爷有两块地，一块面积为a2，另一块面积为b2，而阿凡提只有一块地，面积为（a+b）2.有一天，巴依老爷眼珠一转对阿凡提说：“我用我的两块地换你的一块地，可以吧？”如果你是阿凡提，你会和巴依老爷换吗？

通过动画视频播放抛出本节课的问题，可以激发学生兴趣，勾起学生解决问题的欲望，让学生积极地参与课堂;同时也为本节课的学习埋下伏笔.

2.探究活动

（1）实验操作 得出新知

在探究学习的过程中，学生会通过自己的亲身体验、动手操作、小组合作交流，主动地去发现问题，并创造性地解决问题.所以，以学生为主体通过实验操作进行自主探究：（a+b）2与a2+b2哪个大？

准备材料：边长分别是a、b的正方形彩色卡片各60张，宽为a、长为b的长方形彩色卡片120张.

操作方法：可将学生按照4人一组进行分组，每人发放宽为a、长为b的长方形卡片2张，及边长是a或b的正方形卡片1张，用手中的卡片和组员协作进行拼图，来解决提出的问题.并请一位同学将拼图的结果张贴在黑板上.

学生借助拼图，更加直观、形象地发现（a+b）2≠a2+b2，而是前者比后者多了2ab，预设问题得以解决.在解决问题的同时，逐步引出今天所学内容.实验操作，不仅可以调动学生的积极性，让每位学生参与其中，大大提高课堂效率，激发学生的思维，而且使学生更容易理解、掌握完全平方公式及其结构特点;同时还可活跃课堂气氛，培养学生的合作、交流意识，正所谓“一举多得”.

（2）乘胜追击 激发思维

除了用拼图的方法解决这个问题，你可以用代数的方法吗？请同学上来展示（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2

即（a+b）2=a2+2ab+b2

从代数的角度，通过整式的乘法再次得出公式，让学生充分了解完全平方公式其实就是两个相同二项式相乘的这一特殊的乘法形式，进而加深本节课所讲内容是“整式乘法”中的“完全平方公式”;同时，为后面即将学习的因式分解也奠定了基础.这样，完全平方公式的两种证明方法——几何图形、代数方法得以完美呈现，学生也理解了完全平方的几何意义和代数意义.

与此同时，教师还要强调等号的右边，积的2倍里的数字“2”是这个公式中唯一的一个常数，可为今后公式的逆向应用等后续的学习打下良好的基础.为了巩固这个公式，不妨做一些简单的计算.

计算（1）（x+y）2 （2）（a+1）2 （3）（2+m）2 （4）（2x+1）2

最后教师总结：公式中的字母a、b不仅可以代表单独的一个字母，还可以代表单独的一个数，甚至是代数式，以加强符号意识;为后面（a-b）2的推理埋下伏笔.

（3）小试牛刀 关联知识

例1 计算（a-b）2

在做本题时，可以先请学生讨论，这时，学生可能会有两种做法：一种是按照平方的定义转化成（a-b）（a-b）计算，一种是将两数差的平方转化为两数和的平方计算;教师可请两种不同做法的同学演板，让学生找出最优化的计算方法，同时向学生表明老师比较倾向于将减法转化为加法的这种计算方法，可以回避“-”，避免符号出错.

这个例题的设计，既巩固了两数和的平方公式，又推出了两数差的平方公式，达到完善完全平方公式的目的;同时，还有利于引导学生感悟转化的数学思想和建立知识之间的内在联系.

解：（a-b）2=a+（-b）2=a2+2·a·（-b）+（-b）2=a2-2ab+b2

学生演板后教师总结，并在黑板上板书两个公式.这种做法既可以突出本节课的重点，也便于学生清晰理解、掌握公式.

（4）层层设疑 深化公式

为了让学生对公式的形式特征及结构有更深刻的认识，便于熟练掌握、应用公式，特设置以下两个问题：仔细观察公式，小组讨论并回答：

问题1 你可以用语言描述完全平方公式吗？

问题2 你能说出公式的结构特点吗？

教师根据学生实际情况，适时地引导学生进行观察.

最后，做出总结：（首±尾）2=首2±2首尾+尾2

并重点强调，“2首尾”前的符号取决于左边二项式的运算符号，前面是“+”，积的2倍则用“+”，前面是“-”，积的2倍则用“-”.简言之：首平方，尾平方，积的2倍加（减）在中央.

（5）应用新知 巩固深化

练一练 下面的计算是否正确？如有错误，请改正.

①（x+y）2=x2+y2  ②（x-2y）2=x2-2xy+4y2  ③（2m+n）2=2m2+4mn+n2

根据教学经验，特选用以上几道典型的学生易错题进行辨析，以加强对公式的理解和掌握.待学生完成后，教师总结：

完全平方的结果是三项（首2、2首尾、尾2）、乘积不忘乘2倍、2m要整体乘方.

在辨析题后，设计利用完全平方公式计算的例题以巩固.

例2 利用完全平方公式计算：

（1）（5+3p）2 （2）（2x-7y）2 （3）（-m+2n）2  （4）（-2a-5）2

第（1）题可以由教师带领学生一起来分析，找准首项、尾项，再决定乘积的2倍用加法还是减法，然后教师把这道题目的计算过程写在黑板上作为范例.

其他三道题目让学生自己在下面做，然后老师巡视下面学生的完成情况.在巡视的过程中你会发现第（3）题同学们有两种做法：一种是直接使用完全平方公式中和的形式计算，还有一种做法是利用交换律将题目转化成（2n-m）2，利用公式里差的形式计算;同样，第（4）题也是两种解法：一种是直接按公式里差的形式计算，一种是利用平方这个偶次幂将其转化到相反数的平方上去做，即转化成（2a+5）2计算.教师把这两道不同解法的同学请到讲台上板演或把解题过程投影，让学生自己比较哪个做法更简单.并请同学们谈谈自己对以上4道例题的收获.最后，教师对例题做出总结：

①注意完全平方公式的結构特征，结果是三项——首平方、尾平方、首尾的2倍;乘积不忘乘2倍、2倍的符号;代数式整体乘方;

②最后两道例题老师倾向于转化的这种做法，可以有效地把“-”规避掉，符号不容易弄错，也让计算得以简便;

③通过以上题目的解法，今后我们遇到的用完全平方公式计算的题目最终都可以转化为（a+b）2、（a-b）2这两种形式进行计算.

通过学生以上练习、小结和教师的归纳总结，教师可再设置几道练习以巩固公式及计算方法.

3.拓展延伸 巩固提升

例3 用简便方法计算 982

分析 本题是计算一个数的平方，应用今天所学的知识，只要把982写成两数和或两数差的平方就可以了.观察可以发现，把98写成100-2最为简便.

解：982=（100-2）2=1002-2×100×2+22=9604

接下来，教师可以请学生出一道用简便方法计算的题目，其他同学来求解.让学生感受从学知识到用知识这样的转变过程，体验学习的快乐，同时活跃了课堂气氛.

想一想 你会计算（a+b+c）2吗？

这个问题比例3更加难一些，需要学生在大脑里经过分析、类比等，将信息进行整合、加工、转化方可计算.教师可根据学生实际情况，适时地加以引导，比如：完全平方公式是两个数和的平方，而这道题目是三个数和的平方，能否将三数和转化为两数和呢？经过这一提示，掌握得好的学生立马就可以用加法的结合律将其中两个数的和（a+b）看做一个整体，从而将（a+b+c）2转化成（a+b）+c2，两次使用公式就可以了.通过这道题目帮学生再总结一下字母的含义，加强符号意识，让学生再次体会整体思想、转化的数学思想.

4.布置作业

作业：完成课时学案.

三、设计理念

数学教育家斯托利亚尔指出：“积极的数学教学，应是数学活动（思维活动）的教学，而不是数学活动的结果——数学知识的教学.”所以，教学设计要重视学生对所学知识的参与、体验程度;要本着符合学生的认知特点、顺应学生思维发展的目的而设计;同时要对课堂教学内容进行优化重组——精选例题和习题，要紧紧围绕教学重难点有针对性地、合理地设计问题和活动.当一切都在适当的问题引领之下、学生的积极参与之下、教师的适当点拨下自然生成时，学生的主体作用得以体现是水到渠成的事.整个教学过程，学生体验到了知识的生成过程，感受到了数学知识的来龙去脉，也体验了思维的过程，感受到了数学思想，必会实现教师和学生教学相长.

参考文献：

[1]曾大洋.如何上好一堂数学课[M].华东师范大学出版社，2019.

[2]张清良.如何引导预科学生进行探究性学习[J].考试周刊，2017（90）：3-4.

[3]钱健.PCK视角下的概念知识解析与教学难点突破[J].中学数学月刊，2019（4）：20.

编辑 郭小琴