时间模上p-Laplacian方程两点边值问题正解的存在性

乔世东

(山西大同大学数学与统计学院，山西 大同 037009)

研究时间模T上的一维p-Laplacian两-点边值问题

设p＞1，q＞1，且满足另外，设

解方程得

故

亦即

而

由边值条件得到

因此

定义全连续积分算子A：P→P，

AP⊂P,则A全连续积分算子，令δx∈(0,1),则则（5）为

由边值条件得到

所以将A全连续积分算子表示为

则边值问题(1)有解u=u(t)，当且仅当u是对应A在P中的不动点。

引理1设全连续算子由（6）给出，设u∈P，则

‖Au‖=(Au)(δx)。

证明∀t∈(0,δx),

故‖Au‖=(Au)(δx)。[1]

定理1（Krasnoselskii）设E是一个巴拿赫空间，P⊂E是锥，Ω1,Ω2∈E为非空相对开集，且为全连续算子，满足：

(1)‖Au‖≤‖u‖,∀u∈P∩∂Ω1；‖Au‖≥‖u‖,∀u∈P∩∂Ω2,或

(2)‖Au‖≥‖u‖,∀u∈P∩∂Ω2；‖Au‖≤‖u‖,∀u∈P∩∂Ω2,则A在上有一个不动点。[2]

定理2设条件(H)成立,又设存在常数

证明定义一个锥P满足条件（4），引理知AP⊂P，全连续积分算子A：P→P，如果u∈P，‖u‖=a，有

及

故‖Au‖≤‖u‖。

如果u∈P，‖u‖=b，t∈[δ,1-δ],不妨设有

因此，‖Au‖≥‖u‖，

由定理1知，结论成立。