开展数学探究活动 培养学生核心素养

【摘 要】 教师要提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神。开展数学探究活动是落实培养学生数学核心素养的有效途径之一。在“二项式定理”课堂教学中，教师要以数学探究为主线，促进学生深层次参与课堂学习；要以教学过程为载体，强化数学思想方法的渗透和应用；要突出学生的主体地位，践行新课程标准的教学理念。

【关键词】 数学核心素养；数学探究；二项式定理；教学反思

【作者简介】 徐永忠，正高级教师，全国优秀教师，中国数学奥林匹克一级教练员。

【基金项目】 江苏省教育科学“十三五”规划立项课题“基于新课程改革的高中各学科核心素养校本化构建及互融共生研究”（D/2016/02/275）；江苏省教学研究第十二期重点课题“基于发展数学核心素养的高中数学写作实践研究”（2017JK12-ZB33）

《普通高中数学课程标准（实验）》指出，数学探究是高中数学课程引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，养成严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力[1]。《普通高中数学课程标准（2017年版）》的课程目标要求，教师要提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神[2]8。新的课程标准还专门安排了数学建模活动与数学探究活动。

由此可见，开展数学探究活动是落实培养学生数学核心素养的有效途径之一。开展数学探究活动要结合恰当的课题，才能取得良好的效果，而“二项式定理”的教学无疑是一个好的选题。

一、教材分析

“二项式定理”是苏教版高中数学选修2-3第1章第5节的内容。学生在初中时已经学过多项式乘法。二项式定理是多项式乘法的延伸，也是其特例。此内容安排在组合计数内容之后，随机变量及其概率分布之前，既是组合计数知识的应用，也为学生接下来学习二项分布做准备。因此，本节内容起着承上启下的作用。

学生在教师的指导下通过从特殊到一般进行归纳发现二项式定理，同时在归纳的过程中还会涉及组合计数知识的运用。因此，这部分内容的教学有利于培养学生数学抽象思维与数学建模等素养，教师在教学中应予以重视。

二、目标分析

（一）教学目标

1学生理解并掌握二项式定理，能利用二项展开式的通项公式求某一项的系数。

2学生能运用两个基本计数原理、组合思想证明二项式定理。

3培养学生归纳猜想、抽象概括、演绎证明等理性思维能力，培养学生发现问题、提出问题的能力。

（二）教学重点、难点

1教学重点：运用两个基本计数原理分析[WTBX]（a+b[DK]）2，[DK]（a+b[DK]）3展开式的结构，进而研究（a+b[DK]）4[WTBZ]的展开式，推导出二项式定理。

2教学难点：教师如何引导学生利用两个基本计数原理分析二项式的展开过程，从而发现当二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

三、学情分析

学生已经学习并掌握两个基本计数原理、排列、组合等知识和方法，具备一定的观察、归纳、推理能力，在平时的学习中能够自觉使用分类和分步的方法来解决数学问题。另外，学生已经掌握[WTBX]（a+b[DK]）2，（a+b[DK]）3[WTBZ]的展开式，这为本课开展数学探究活动奠定了基础。本节课的授课对象是四星级高中普通班的学生，他们的求知欲比较强，但是缺乏正确的、有效的科学研究方法，因此需要教师耐心引导。

四、教学过程

（一）问题与情境

问题1 二项式定理研究的是[WTBX]（a+b[DK]）n的展开式，由多项式的乘法法则可知：

（a+b）2= a2+ 2ab + b2，

（a+b）3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3，

……

那么，（a+b[DK]）n[WTBZ]的展开式是什么？

【设计意图】教师将问题作为教学的出发点，直接引出本节课的主题。新课程标准所倡导的“问题情境”其核心并非单纯的情境，而是隐含数学问题的情境。创设情境的目的是为了提出问题。问题能够引起学生的积极思考，激发学生的探究欲望[3]。

探究1 分小组对[WTBX]（a+b[DK]）3进行讨论，试回答下列问题。

①（a+b[DK]）3的展开式在合并同类项之前，展开式有多少项？

②（a+b[DK]）3的展开式中有哪些不同的项？

③（a+b[DK]）3的展开式中各项的系数为多少？

④ 从上述3个问题中，能否得出（a+b[DK]）3[WTBZ]的展開式？

【设计意图】教师通过组织学生进行小组讨论，指导学生对[WTBX]（a+b[DK]）3[WTBZ]的展开式进行“解剖”，使学生了解研究数学的方法，积累研究数学的经验，为下一步顺利开展研究做好准备工作。

（二）知识与技能

1活动体验

探究2 仿照上述过程，请你推导[WTBX]（a+b[DK]）4[WTBZ]的展开式。

【解析】[BFB][WTBX]（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）[BFQB]，其各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：

【设计意图】在探究1中，教师通过不断追问，引导学生用计数原理对[WTBX]（a+b[DK]）3的展开式进行再思考，分析各项的形式和项的个数。这为推导（a+b[DK]）4的展开式提供了模板，使学生在后续的学习过程中能够模仿，进而创新解决此类数学问题的方法。[WTBZ]

探究3 仿照上述过程，请你推导[WTBX]（a+b[DK]）n[WTBZ]的展开式。

【解析】[WTBX]（a+b[DK]）n是n个（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时，都有两种选择，选a或者选b，二者必选其一。由分步计数原理可知，（a+b[DK]）n的展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是an-kbk（k = 0，1，…，n）的形式。对于每一项an-kbk，它是由k个（a+b）选了b，n-k个（a+b）选了a得到的，其出现的次数相当于从n个（a+b）中取k个b的组合数 [WTBZ]C[WTBX]kn ，将它们合并同类项，就得到二项展开式，即二项式定理。

【设计意图】学生探究了（a+b[DK]）3，（a+b[DK]）4的展开式之后，就可以运用类比的方法得出（a+b）n的展开式。在这里，二项式定理的证明是采用“说理”的方式进行的，因此对学生来说，要注意选择表述的角度和表述的严谨性。[WTBZ]

2数学建构

一般地，[WTBX]由（a+b[DK]）n=[XCP25.TIF，JZ][KG*2]可知，其展开式是从每个括号里各取1个字母的一切可能的乘积的和。由此可见，（a+b[DK]）n展开式中的项都具有an-kbk的形式，其系数就是在[BFB]（a+b）（a+b）…（a+b）[BFQB]的n个括号中选k个b的方法种数。

具体步骤如下：

（1）求出每一项。因为（a+b[DK]）n是n个二项式（a+b）相乘，根据多项式相乘的规律，展开式中的每一项都是一个n次项，其形式为an-kbk，其中k=0，1，2，…，n。

（2）合并同类项。学生需要计算形如an-kbk同类项的个数。由于k个b来自不同的k个二项式（a+b），n-k个a来自剩余的n-k个二项式（a+b），因此an-kbk同类项的个数是组合数[WTBZ]C[WTBX]kn。

（3）得到展开式。根据加法原理，可以得到二项式的展开式为（a+b[DK]）n=[WTBZ]C[WTBX]0nan+[WTBZ]C[WTBX]1nan-1b+…+[WTBZ]C[WTBX]knan-kbk+…+[WTBZ]C[WTBX]nnbn，即（a+b[DK]）n=∑〖DD（〗n〖〗k=0〖DD）〗[WTBZ]C[WTBX]knan-kbk。

二项式定理：（a+b）n=[WTBZ]C[WTBX]0nan+[WTBZ]C[WTBX]1nan-1b+…+[WTBZ]C[WTBX]knan-kbk+…+[WTBZ]C[WTBX]nnbn（n∈[WTHZ]N[WTBX]*）。

二项展开式的特点：

①项：二项展开式共有n+1项。

②次数：各项的次数和都等于n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n。

③二项式系数：[WTBZ]C[WTBX]kn（k∈[BFB]{0，1，2，…，n}）[BFQB]。

④二项展开式的通项：Tk+1=[WTBZ]C[WTBX]knan-kbk。

⑤二项式定理中，设a=1，b=x，则（1+x[DK]）n=1+[WTBZ]C[WTBX]1nx+…+[WTBZ]C[WTBX]knxk+…+[WTBZ]C[WTBX]nnxn。[WTBZ]

【设计意图】这一步骤让学生体会利用组合思想从特殊到一般进行推理，对猜想给出严谨的证明过程。但是这里的证明是通过“说理”的方式进行阐述的，学生可能不太理解，因此需要教师给予必要的说明。教师分析二项展开式的结构特征，在有意记忆的基础上辅以机械记忆，使学生加深对二项展开式的最初印象，为以后正确运用公式奠定基础。

问题2 各二项式系数之和是多少？即[WTBZ]C[WTBX]0n+[WTBZ]C[WTBX]1n+…+[WTBZ]C[WTBX]kn+…+[WTBZ]C[WTBX]nn是多少？

【解析】将二项式定理左边的[WTBX]a、b都賦值为1，则[WTBZ]C[WTBX]0n+[WTBZ]C[WTBX]1n+…+[WTBZ]C[WTBX]kn+…+[WTBZ]C[WTBX]nn=2n；二项式定理给出了一个恒等式，即对两项a、b的一切取值都成立，因此对其特殊值也成立。赋值法是解决与二项展开式系数有关问题的重要方法。在二项式定理中，令b=x，那么二项式定理就变成一个关于x的函数f[BFB]（x）=（a+x）n[BFQB]=a0+a1x+a2x2+…+anxn，所有各项系数之和就是f[BFB]（1）[BFQB]。

【设计意图】学生通过赋值法得到重要结论，同时进一步理解二项式定理中字母的含义。好的数学问题能点燃学生的好奇心，好奇心能激发学生有效参与课堂学习的热情，因此教师要适当拔高数学问题，给学生提供思考的空间。

（三）思维与表达

例1 用二项式定理展开

【设计意图】学生通过分析，熟练掌握二项展开式的应用。

【课堂练习】

① 求（2a+3b）6的展开式中的第3项。

【解析】T2+1=[BFB][WTBZ]C[WTBX]26（2a）4（3b）2=2160a4b2[BFQB]。

② 求（3b+2a）6的展开式中的第3项。

【解析】T2+1=[WTBZ]C[WTBX]26[BFB]（3b）4（2a）2=4860b4a2[BFQB]。

③ 求（x+a）12的展开式中的倒数第4项。

【解析】（x+a）12的展开式共13项，它的倒数第4项是第10项，T10=[WTBZ]C[WTBX]912x12-9a9=[WTBZ]C[WTBX]312x3a9=220x3a9。

【设计意图】在二项展开式中，第几项是指按照二项展开式的顺序，即使是两项相加，也不能随便交换。二项展开式的形式比较重要，上述问题强化了学生对概念的认知。

（四）交流与反思

① 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

② 你掌握了哪些学习数学的方法？

③ 课外探究：用数学归纳法证明二项式定理。

（通过师生对话、课件演示，使学生回顾二项式定理的内容和形式；并强调二项式系数与二项展开式系数的区别。）

【设计意图】师生就上述问题进行讨论、交流、总结，教师让学生充分发表意见。学生进行总结，梳理相关知识点，加深理解。教师让学生回顾本节要点，并观察学生的掌握情况。教师还可以布置课外作业让学生用数学归纳法证明二项式定理，让学生通过自主探究，提高数学探究能力。

五、教学反思

学生在初中时已经学习了乘法公式、多项式相乘等基础知识。二项式定理是乘法公式的推广，也是两个基本计数原理和排列组合知识的具体应用。该内容为学生将要学习的概率知识提供重要的基础。本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，因此在教学中，教师宜采取数学探究的学习方式，让学生掌握研究数学问题的方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及归纳意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造的过程，进而培养学生的数学核心素养。

（一）以数学探究活动为主线，促进学生深层次参与课堂学习

本节课在教师精心设置的问题的驱动下，学生对知识和方法的探究由表及里，逐步深入。本节课首先由[WTBX]（a+b[DK]）2和（a+b[DK]）3的展开式作为教学的出发点，接着教师引导学生推导（a+b[DK]）4和（a+b[DK]）n的展开式，激发学生寻找新方法解决新问题。[WTBZ]

在教学中，教师始终要以问题为主线，引导学生参与问题的解决，同时在这个过程中让学生体会数学思想方法，领悟科学探索精神，从而促进他们深度思考。整节课问题的生成是自然的，教师没有将知识生硬地塞给学生，而是在学生思考的过程中，因学生的思维需求，教师自然而然地提出问题，是建立在学生主动需求的基础上。这样的问题设计激活了学生的思维，提高了学生课堂参与的積极性。

（二）以教学过程为载体，强化数学思想方法的渗透和应用

在教学中，教师应鼓励学生积极参与课堂教学活动，包括思维的参与和行为的参与。课堂教学既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探索和合作交流。教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程[2]111。由此可见，过程教学观是新课程理念的灵魂。本课例特别突出了过程教学，以过程为载体，培养学生的数学思想。

1注重课题的引入过程。教师从上课一开始就提出生活的实际问题，捕捉实际应用与新知识的衔接点，突出了数学建模的思想方法。

2注重二项式定理的生成过程。在探寻“乘法公式（a+b），（a+b[DK]）2，（a+b[DK]）3到（a+b[DK]）4再到（a+b[DK]）n[WTBZ]的展开式”规律时，突出了三个过程：一是引导学生找每一项的次数、项数规律；二是引导学生寻找系数规律，这是问题的关键；三是引导学生寻找组合数的实际意义，这是解决二项式指定项系数问题的出发点。这些教学过程突出了两种数学方法，一是由特殊到一般的不完全归纳法，二是类比联想法。由此可见，学生在公式定理的形成过程中可以学到重要的数学方法，可谓“过程即方法”。数学的学习过程比学习结论更重要。

3数学探究过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的良好载体。在教学过程中，教师要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发他们发现解决问题的方法。

（三）突出学生的主体地位，践行新课程标准的教学理念

将课堂还给学生，既是课程改革的一个主方向，也是新课程标准的一种原动力。教师放手让学生探究[WTBX]（a+b[DK]）4的展开式，拓宽了学生的思维空间；让学生合作探讨（a+b）4展开式中项的结构，增强了学生的整合能力；让学生归纳梳理（a+b[DK]）n展开式的特征，培养了学生思维的严谨性。整堂课始终突出学生的主体地位，自觉实践“问题引领、指导探究、合作交流、共同提高”的教学理念。

在整个教学过程中，教师通过明线、暗线圆满地完成了这节课。其中，定理的探究、发现、[KG（0.1mm]证明是明线，让学生充分体会获取结论的思维过程；而暗线则是教师在教学过程中同时渗透了数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养。

数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养的培养需要教师认真对待每一堂课，在师生互动中寻找机会去落实[4]。在本课的教学中，教师可以从二项展开式的特征引导学生归纳概括出一般二项式展开式的规律，这是进行数学抽象教学一个很好的机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理模型解决数学问题，这也是进行数学建模教学的好机会。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验） [S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[3]吴晓红.数学课堂教学反思[M].上海：华东师范大学出版社，2014.

[4]徐永忠.培育高中学生数学核心素养的途径初探[J].数学通讯，2018（8）：4.