变换让数学概念更厚重

范琰

在近阶段的毕业复习中，学生对以往数学知识的遗忘程度真的让人感到难以置信，特别是量与计量的换算，简直是一塌糊涂，百思不得其解。听了特级教师周卫东的《分数的意义》一课后，笔者恍然大悟。学生在学习新概念时，尤其是核心概念的学习，如果没有丰富的典型素材，也没有不断地变换教学方式，只是一味简单地重复概念，那只是一种低等级水平的技能上高频熟练而已，并没有真正地触动学生的生活经验，思维也没有得到很好的发展，当然学生遗忘得也快。周卫东在《分数的意义》中的几个巧妙的变换，让单薄的概念变得如此的厚重，值得琢磨。现撷取几个精彩片断，与大家一起赏析。

变换素材，多维度诠释概念

数学中的概念似乎都与“抽象”挂钩，而我们往往没有站在孩子的角度，习惯用成人的眼光看数学问题，认为这些概念很简单不必“纠缠”丰富的素材，往往为了赶时间而急于得出概念，然后让学生进行识记并应用，这样的教学，学生经历知识的形成过程肯定不够深刻。名师的课堂会让我们窥见一斑，原来数学概念也可以上得如此的形象生动。在揭示核心概念的时候，他们舍得花时间，通过数形结合，不断地变换素材，把一个概念从多个维度诠释得淋漓尽致，让学生感到不是在重复着同一内容的操练，而是每道题目都有新意，都有不同的味道，但始终都是理解同一个概念。

【片段一】  的素材变换，感知分数的意义

下面各图中的涂色部分，哪些能用

表示？

（1）      （2）

（3）            （4）

生1：（1）（2）（3）涂色部分可以用  表示。

生2：第（4）幅图表示把5个△平均分成5份，涂了其中的3份，用  来表示。

课件隐去一幅，剩（1）（2）（3）。

师：（1）（2）（3）为什么都能用 表示呢？这三幅图有哪些相同的地方？

生：因为把一个圆平均分成4份，涂色了3份。把一条1米长的线段平均分成4份，涂色了3份。把8个圆平均分成4份，涂色了3份。所以都可以用  表示。

师：刚才大家分别说了三幅图的意思，能不能概括地说一下。

生：这三幅图都平均分成4份，把其中的三份涂起来。

师：都是把一个整体平均分成4份，表示这样的3份。这三幅图哪儿不一样？

生：其中一份的数不一样。

师：你能明白他的意思吗？

生：分的总量不一样。

师：（针对1号月饼图）一个苹果可以吗？一个月饼、一个苹果等都称为1个物体。

师：（针对2号1米图）把1米平均分成4份，还可以是1厘米、1分米，1天可以吗？1小时可以吗？1吨呢？也就是说把一个计量单位平均分成4份，表示这样的3份。

师：（针对3号圆形图）把8个圆形平均分成4份，这8个圆形还可以是什么？（生答略）也就是一些物体。

师：一个物体、一个计量单位、一些物体，给这三个取一个共同的名字，叫做单位“1”，写得时候这样写“1”，读的时候读作单位“1”。

师：究竟什么是  呢？

生：把单位“1”平均分成4份，表示这样的3份。

区区一个 ，不仅用了以上五幅不同的图形，还从一号图的月饼联想到一个苹果，一个月饼、一个苹果等都称为1个物体。由（2）号图的1米联想到1厘米、1分米，1天、1小时、1吨，从而概括成把一个“计量单位”平均分成4份，表示这样的3份。从（3）号图由8个圆形联想到一些物体。从“一个”联想到“一类”，丰厚的素材从不同的维度足以让学生深刻理解 的意义，有种“似曾相似，却又不同”的感觉。

变换提问方式，打破思维定势

在上“分数的意义”时，我们都知道理解单位“1”是重中之重，但糟糕的是都掉入单位“1”中无法自拔，模式化的一句话“把谁看作单位1，平均分成几份，表示这样的几份”贯穿课的始终，甚至用于整个单元。这纯是一种形式化的叙述，而学生并没有真正地感悟单位“1”的意义。实践表明，只有不断地变换提问的方式，放眼于整个单元的内容（求一个数是另一个数的几分之几、求一个数的几分之几是多少，已知一个数的几分之几是多少求这个数），多角度地打破平时一贯的叙述方式，才能真正灵活地理解单位“1”的本质含义。

【片段二】感悟单位“1”的提问变换，理解分数的意义

师：分数中只有 吗？这儿有两个分数： ， 各表示什么意思？

生1： 把单位“1”平均分成6份，表示这样的1份。

生2： 把单位“1”平均分成3份，表示这样的2份。

師：这儿有四种不同的单位“1”，如果研究  ，你选哪些作为单位“1”？

出示：选择合适的单位“1”，表示下列各分数： ，

（1）

（2）

（3）

师：干吗不选第（1）个？

生：7÷6，7÷3除不尽。

师：男女各选一个分数，把这个分数画出来。

生1：把钟面上12个刻度平均分成3份，涂这样的2份。

生2：把12个圆形平均分成3份，涂这样的2份。

生3：把这条线段平均分成3份，每份是这样的  ，2份是这样的  。

生4：把圆形平均分成6份，涂这样的1份。

师：比较（2）（3），有什么不同？

小结：横着看，表示的分数一样，不同的单位“1”可以表示同一个分数。

竖着看，同样的单位“1”，可以表示不同的分数。揭示分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的1份或几份的数，叫做分数。

变换之一：让学生自主选择单位“1”的量。“这儿有四种不同的单位“1”，如果研究  ，你选哪些作为单位‘1’？”尤其用了反证材料7个三角形，7都不是6和3的倍数，突出“平均分”的重要性，进一步理解分母的意义。我们一般都是让学生举例生活中还可以把哪些物体当作单位“1”，相比之下，此处的目标更为明确，更有思考的价值。因为分数教学的核心之一理解单位“1”，但并不是所有的单位“1”都能直接表示出  ，  。

变换之二：这二题图的横向与纵向的比较，横着看，不同的单位“1”可以表示同一个分数;竖着看，同样的单位“1”，可以表示不同的分数。此处可谓“转轴拨弦三两声，未成曲调先有情”，突出分数与平均分成的份数有着举足轻重的作用，突破教学的重难点，即分母表示分成的份数。不同的单位“1”，只要平均分成6份，表示这样的1份就可以用 表示，与材料的颜色、形状、大小、多少都无关。尽管单位“1”相同，  但分成的份数不同，涂色的份数也不同，就可以表示不同的分数，突出分数的分母与分成的份数有关，分子与涂色的份数有关。

变换比较标准理解相对性

名师的课堂，看似如出一辙，却大相径庭。因为他们的教学总是蕴藏着深刻的数学思想方法，他们的教学总是“一脉相承”，把前后知识的来龙去脉搞得一清二楚。“分数的意义”的教学可以看作是学生数感发展的一个分水岭，从认识表示数量与顺序绝对数值到认识表示相对数值的分数，这是一次“数的认识”质的飞跃。相对于自然数而言，分数的意义更广泛，所代表的范围更大，更具有相对性。周老师在原有的知识体系上不断地完善数的体系，完成数系的扩展。他把分数的教学置于整个“数系”中去，把分数与整数联系起来，通过数形结合让学生从数整数开始，复习自然数单位，引出分数单位，那么数出分数便水到渠成，并且把分数的“相对性”解释得清清楚楚，这是课堂中所欠缺的。

【片段三】分数的相对性

师：华罗庚爷爷讲过这样一句话：数，起源于数。刚一年级，我们会数1、2、3、4

○○○○    4，表示4个一

○○        2，表示2个一

○          1，

每次数1个，所以1是自然数单位。

师： 你数了吗？

， ， ，3个 ，每一次数 ， 的计数单位就是 。

师：把4个圆圈看做单位“1”，那么2个圆圈怎么表示？1个圆圈呢？

○○○○        “1”

○○

○

师：把2个圆圈看做单位“1”，那么4个圆圈怎么表示？1个圆圈呢？

○○○○          2

○○            “1”

○

師：同样是4个圆，一会是2，一会是1，一会是4，跟谁有关系？

此处最大的亮点是通过反复变换比较的标准，把分数置于整个“数系”中去理解分数的相对性，实现分数与自然数之间的巧妙联系。分数的相对性表现在，同一物体个数因相对的单位“1”不同而用不同的分数来表示，同一个分数因单位“1”的不同使得它所代表的数量大小也不同。周老师做得顺理成章，笔者明白，原来这节课还可以这样上的，同时深深感到自己对分数认识的浅薄。

其实，在这节课中渗透“相对性”对以后的教学也是很有帮助的。我们都知道，在分数、百分数、比的应用中理解关系句是尤为重要的，把谁看作一个标准，与它比较的另一个量随着这个标准的变化而变化。如女生人数比男生多25%，若把男生看成100份，则女生125份;若把男生看成4份，则女生5份;若把男生看成1份，则女生（1+25%）份等。这样的“相对性”教学，让学生学会从多个角度思考问题，避免了解题的盲目性，有利于培养求异思维和求同思维，让学生感悟到数出分数是有条件的，也就是说比较的标准量大小变了，比较的对应量也随着变化，突出数的“相对性”。同时在数的过程中，让学生不知不觉地理解了分数单位所表示的含义。

结束语

变换让概念披上多姿的外衣，同时又诠释了知识的内涵，给学生常换常新的感觉。因此，在教学中我们应该对新概念的知识“生长点”与以后的“落脚点”要有一个全面、系统的认识，善于不断地变换素材、变换提问和练习的方式，让概念不再单薄，变得厚重起来。让学生更加轻松地学习概念，更加深刻地理解概念的本质，更加灵活地运用概念。

（作者单位：浙江省玉环市楚门中心小学）