如何巧妙还原三视图的立体图

兰长侨

摘要： 三视图是高中数学“立体几何”知识点的重要基础之一，此文将三视图的原理验证方法进行解析。

关键词：三视图;立体图;高中数学

三视图是人教A版高二必修二第一章第二节《1.2.2空间几何体的三视图》的内容，三视图还原立体图一直是学生甚至是老师的一个难题。我们知道，三视图是几何体在一束平行光线照射下形成的投影，光线从几何体的前面向后面正投影得到正视图，光线从几何体的左向右面正投影得到侧视图，光线从几何体的正上方向下面正投影得到俯视图。根据三视图的定义，俯视图与正视图长相等，俯视图与侧视图宽相等，正视图与侧视图高相等，因此，在具体的三视图中总是有这样的对应关系：正视图和俯视图的长度相等，侧视图的长等于俯视图的高，正視图和侧视图的高相等（如图1）。

一、课题的引入

某天一位同学来问了我这样一道三视图的题：

某四面体三视图（如图2），正方形网格边长为1，则此四面体体积为（   ）

【分析】本题实质是考察三视图还原立体图的能力，很多同学就是因为不能还原立体图而不能做出正确的答案。

我根据三视图的原理给同学讲解了三视图还原成立体图的过程，算出了答案，但是同学却听得模模糊糊，尤其是不能想象出三视图还原立体图的过程。在无意中看到修高楼打的立柱在太阳下投影到对面墙的影子，那么我为什么不用简单的点线投影的观点还原立体图呢？

二、例题讲解

我们知道，一条线或点的不同放置时它们的三视图，从而得到（1）有垂直于水平线的 （2）有与水平线斜向上的 （3）有悬空的点 这三种位置。

【例题1】：一个几何体的三视图（如图3所示），请还原立体图。

解答步骤（如图4）：

第一步，把俯视图放入长方体底部，标出关键点。

第二步：从俯视图正下方做竖直的平行线（正俯长相同原则），先观察在第1条竖直线上只有一个关键点A（以后我们简称单点）对应的正视图相应有一条与水平线段DG垂直的线段DE，因为只有单个的关键点A，所以只有在长方体点A立柱线段AE（简称单点有垂立柱）;再看B点，也是在第二条竖直线上的单点，对应正视图上没有与水平线垂直或斜向上的线段，只有一个悬空的F点，所以关键点B在长方体中是悬空的点（简称单点无垂无斜悬空点）;再看C点，是在第三条竖直线上的单点，对应正视图上只有与水平线段DG斜向上的线段EG、FG，所以关键点C在长方体中只能在底部的一个点（简称单点有斜定点）。

第三步，确定所有点后，连接相对应的点，即可确定立体图。

我再给出了一个复杂一点的例题：

【例题2】一个几何体的三视图（如图5所示），则它的体积为（ ）

正确答案是 B.

【分析】本题实质是考察三视图还原立体图的能力。

解答步骤：（如图6）

第一步：把俯视图放入长方体底部，标出关键点。

第二步：从俯视图正下方做竖直的平行线（正俯长相同原则），先观察第一条竖直的线，上面有两个关键点A、B，对应的正视图相应有一条与水平线垂直的线段DE和斜向上的线段DG，所以我们暂时不能确定具体情况;再看第二条竖直的线只有一个关键点C，对应正视图有一条与水平线垂直的线段FG，因为在长方体中只有一个关键点C，所以可以确定在C点一定有一根立柱的线段（单点有垂立柱）。

第三步：从俯视图左方做水平平行线在转到竖直平行线（侧俯宽相等原则），先观察最下方的水平线只有A点，对应侧视图有相应的点N，并且有一条与水平线斜向上的线段MN，所以可以确定A点一定只能是在长方体底部的一个点（单点有斜定点）;我们再来看第二条水平线有B、C两个关键点，对应侧视图相应的又有一条与水平线垂直的线段HM并且有4个单位长度，而C点在第二步已经确定有一根立柱的线但是只有1个单位长度，所以只有在B点承担立一根4个单位长度柱的任务，当然也是因为正视图没有EF这样的斜线，才综合确定了B点。（多点，有垂综合正侧是关键）

第四步，确定所有点后，连接相对应的点，即可确定立体图。（如图7）

总结

三、验证方法

第一步：把俯视图放入长方体底部，标出关键点。

第二步：从俯视图正下方做竖直平行线（正俯长相同原则），先观察A、D点对应的正视图相应没有一条从水平线垂直的线段或斜向上的线段，说明在长方体中A、D点一定没有在底部，可是不能确定具体位置（多点暂时不确定）;再看B点，对应上去有一条与水平线斜向上的线段FG或GE，但是这里只有B一个点 ，所以可以确定B点一定只能是在底部的一个点（单点有斜定点）;再看C点，对应上去有一条与水平线斜向上的线段HF或HE，但是这里只有C一个点 ，所以可以确定C点一定只能是在长方体底部的一个点（单点有斜定点）。

第三步：从俯视图左方做水平平行线在转到竖直平行线（侧俯宽相等原则），先观察D点，对应侧视图没有一条与水平线垂直的线段或斜向上的线段，而空中又有一个相对应的点M，但是这里只有D一个点 ，所以可以确定D点一定是悬在半空中的点（单点无垂无斜悬空点）;我们再来看在同一水平线上的A、B、C点，对应侧视图相应有一条从水平线垂直的线或斜向上的线，但是 B、C点在第二步已经确定只能是在底部的点 ，所以只有在A点承担立一根柱或者有一条斜向上的线，但是在第二步可以确定A点不可以在底部，并且从正视图来看有一个点一定要在D点的正上方1个单位的地方，所以A点只能悬空在顶部，并且和点B、C连线形成斜向上的线（多点，有垂综合正侧是关键）。

此方法更适用于解决棱锥的问题，画出立体图后需要验证一下是否符合。

参考文献

[1]刘玲. 巧用三视图 立体变平面[J]. 中学物理教学参考， 2016（19）：38-40.

[2]陈洙颖. 以三视图还原几何体困难的原因及对策[J]. 中学生数理化（学习研究）， 2017（5）：60-60.