伏安法测电阻的误差分析

熊杨爽 苟熹

【摘  要】安培表与伏特表内阻的存在，使得伏安法测电阻无论选择内接法还是外接法，测量结果都会存在误差。理论分析两种电路误差来源，根据误差来源，因相对误差更能反映测量的可信程度，结合相对误差推倒出两种测量方法的选择依据。文章旨在引导学生分析内接与外接两种电路系统误差的来源，结合相对误差定义进行分析，并根据被测电阻来选择合适的电路进行测量，得到较准确的测量值。

【关键词】外接法、内接法、的比较

伏安法测电阻有安培表内接和安培表外接两种连接电路，如图1和图2所示。电壓表的电阻虽然非常大，但电压表接入电路，并不是严格意义上的断路，实际上有微弱的电流通过电压表，这就是电压表的分流作用;电流表的电阻很小，但它接入电路后也不是一段严格意义的导线，电流表两端也有电压，这就是电流表的分压作用。正是由于电压表的分流、电流表的分压，导致伏安法测电阻时，无论采取哪种连接电路，都不可避免的会产生系统误差。

在图1所示的外接法测电阻的电路中，电压表V有分流作用，设流过电压表的电流为，流流过安培表的电流为，过的电流，与不相等，有：，（1）

电压表所测电压即为两端的电压，即：（2）

由欧姆定律有：（3），解（1）（2）（3）

有（4）

（4）式表明，安培表外接测电阻时测得的是电阻与电压表的电阻两者的并联值，即：（5）

其测量的绝对误差：（6）

我们用绝对误差与测量值的比值来计算相对误差，

有：（7）

（7）式表明，用安培表外接法测电阻时，在电压表电阻一定的情况下，所测电阻越大，测量的相对误差越大。

在图2所示的内接法测电阻的电路中，流过安培表A的电流与流过的电流是相等的，即：（8）

由于安培表A有微小电阻，安培表两端有电压，使得电压表测得的电压与两端的电压不相等，即：（9）

由欧姆定律：，

有：（10）

（10）式表明，安培表内接测电阻时，测得的电阻是电阻与安培表的电阻的串联值，

其测量的绝对误差：（11）

我们用测量的绝对误差与电阻的真实值的比值（注：两种电路求相对误差的方法略有不同，前者是绝对误差与测量值的比值，此处是用绝对误差与真实值的比值，这样做的的好处是便于比较。）来计算相对误差

有：（12）

（12）式表明，用安培表内接测电阻时，在所用安培表内阻一定时，所测电阻越小，测量的相误差越大。

当两种测量电路测得的相对误差与相等时，由（7）、（12）

有：（13）即：（14）

（14）式表明，当时两种测量电路测电阻时，测量的相对误差相同。

由此，用伏安法测电阻时往往把测电阻的粗略值与先进行比较，做为选择测量电路的依据：若则认为为大电阻，一般采用安培表内接法，，若则认为为小电阻，一般采用安培表外接法。

在用伏安法测电源的电动势和内电阻的实验中，由闭合电路的欧姆定律：，可得：（15）（注：当电压表示数增大时，安培表的示数减小，即当即时、，的负值才是电源的内电阻）。

采用安培表外接的测量电路如图3所示，电压表测得的是电源两端的路端电压，

即：（16），

由于电压表的分流作用，电流表的测量值小于流过电源的电流，即：（17）

解（15）（16）（17）得：（18）

即：（19）

（注：电压表测量的电压与流过电压表的电流是同步变化的，即当时，，故，后面讨论到安培表时也是如此）

（19）式表明在用伏安法测电源的内阻时，采用安培表外接，测得的是电源内电阻和电压表电阻的并联值。由（7）式可知，当电源内阻越小时，测量的相对误差越小。

如采用如图4所示安培表内接测电源的内电阻，其流过安培表的电流与流过电源的电流相等，即：（20）

但由于安培表的分压作用，电压表测得的电压小于电源的路端电压，

即：（21）

解（15）（20）（21）得：（22）

（22）式表明在用伏安法测电源的内阻时，采用安培表内接时，测得的是电源内阻和安培表电阻的串联值。由（12）式可知，当安培表电阻一定时，电源的内阻越大，测量的相对误差越小。

高中《物理选修3-1》第70页，“测定电池的电动势和内阻”一节，之所以采用安培表外接（课本图2.10-1）来测量，正是因为电池（这里的电池指的是干电池）的内阻很小，测量的相对误差较小。如果是测一个内阻较大的电池的电动势和内阻，采用安培表内接更为合理。

结束语

伏安法测电阻无论内接还是外接，测量值与真实值之间都会有误差，如何选择电路一般根据相对误差大小而定，让学生知道相对误差的概念并根据相对误差的大小来选择测量电路，借此可以提高学生的实验能力。在教学中渗透相对误差的思想并学会计算相对误差，也能培养学生逻辑推理能力和数学运算能力。

参考文献：

[1]崔勇.对伏安法测电阻中电流表内接外接法的探讨[J].物理通 报，2016，10：85-88.

[2}《物理实验》（高等学校教学用书）李长江主编