高中数学基本不等式解题技巧

李浩

众所周知，数学具有较强的复杂性、逻辑性，导致部分学生会产生畏难心理，难以感受到数学的趣味。在学习不等式的过程中，需要不断积累经验，并提高理论知识运用的能力，从而可以逐渐形成解题技巧，避免出现解题失误或者效率低等问题。

一、高中数学中不等式的反证解题技巧

在不等式的解题中，反证解题技巧的应用相对广泛。具体而言，此种技巧主要是在正难则反的前提下而形成的，可以在计算高中数学不等式的过程中，获取十分理想的效果。采用此种解题技巧，能够证明与不等式相关的问题，同时整个证明的过程具有便捷性、简单性，从而在根本上提高解题效率。结合如下例题，对反证解题技巧的应用方式进行分析：

例1：已知a+b+c大于0，abc大于0，ad+bc+ac大于0。结合已知条件，求解：a大于0、b大于0、c大于0。

解析：在求解以上问题之前，需要对题目进行详细分析。由于abc大于0，所以其中的a、b、c数值均不等于0。如果a小于0，bc小于0，那么满足条件a+b+c大于0，同时b+c大于-a，最终的结果则是a（b+c）小于0。需要注意的是，结合题目条件与上述分析发现，ad+bc+ac+a（b+c）+bc的和小于0，而此结果与题目条件相互冲突，因此上述假设并不成立。也就是说，a大于0、b大于0，同时c的数值也必须大于0，完成证明。

二、高中数学中不等式的性质解题技巧

在对不等式进行解析的过程中，可以实现对不等式性质的合理运用。实际上，这一解题方式是最为基础的，能够在很多类型的题目中得到应用。例如：不等式具有传递性，如果a大于b，b大于c，則意味着a大于c。另外，不等式还具备可加性的特点，加深a大于b，那么a+c必然大于b+c，同时ac也同样大于bc。结合如下例题，实现对不等式性质应用方式的分析。

例2：已知有n个圆，每两个圆会在两点相交，每3个圆不会在同一点相交。请证明：这n个圆将平面分成的部分为f（n）=n²-n+2。

解析：在证明f（n）=n²-n+2公式成立的过程中，可以采用归纳法的方式。等n等于1时，f（1）等于2。因此，当n等于1时，存在公式n²+n+2等于2成立，因此命题是成立的。另外，也可以假设n等于k，同时第k+1个圆的圆心用O表示，并结合题目的条件进行后续的证明。通过以上两种不同的方式，均可以证明f（n）=n²-n+2成立，其中实现了对不等式性质的合理运用，从而有效降低题目的难度，对于获取正确的证明结果具有重要意义。

三、高中数学中不等式的换元解题技巧

在分析不等式的过程中，可以将其式子看作整体，然后使变量对其进行替换，从而让问题的解题更加简便。此种解题方式，便可以称之为换元法，实现对不等式的转化。在这一过程中，需要重视置换元、构建元两个要素。具体而言，换元法是以等量代换为基础的进一步延伸，可以实现对研究对象的变换，实现对问题的转移。另外，换元法还可以叫做辅助元素法，即在不等式中引入全新的变量，实现对分散条件的综合处理，并使其中的隐藏条件凸显出来。或者解题期间将结论、条件结合起来，使其成为最为熟悉的结构，为解题提供便利。

例3：已知a大于b大于c，请证明：[1（a-b）+1（b-c）≥4（a-c）]。

解析：结合题目的条件与换元法的原则，可以令a-b等于x、b-c等于y。因此，a-c等于x+y，同时x、y的数值均大于0。在对原不等式进行转化以后，可以得出如下不等式：1/x+1/y大于等于4/（x+y）。因此，在证明不等式的过程中，只需要确保（x+y）/x+（x+y）/y大于等于4，1+y/x+1+x/y大于等于4即可。同时，还需要证明y/x+x/y大于等于2且恒成立。通过此种方式，便可以结合的题目条件与换元法的方式，完成对[1（a-b）+1（b-c）≥4（a-c）]的证明。

四、结语

综上所述，不等式是高中数学的重点、难点，经常会出现在习题、考试中。为了避免此种问题的出现，需要结合题目的类型，实现对不同解题技巧的合理应用，从而以最快、最准确的方式得到最终结果。

（责编  唐琳娜）