高温作业专用服装的最优设计

张宗渝 田大雕 王可豪

摘要：本文基于传热学理论，通过构建数学模型研究了高温作业专用服装的设计问题。我们将服装简化由三层织物材料构成，记为工、Ⅱ、Ⅲ层，第Ⅲ层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为Ⅳ层。首先，将热传递过程视为一根均匀同性杆的传热，考虑热传导和对流两种方式，再基于能量守恒和傅里叶定律，对前三层材料建立了一阶热传导偏微分方程的数学模型;对第Ⅳ层，建立了一阶耦合热传导对流方程的偏微分方程的数学模型，利用热传导方程的有限差分法求数值解。在环境温度为75℃、Ⅱ层厚度为6mm、Ⅳ层厚度为5mm、工作时间为90分钟的情况下，通过估计参数和一些已知的数据，利用MATLAB仿真出每一层的温度变化分布图，求得假人皮肤外侧的温度;在环境温度为65℃、Ⅳ层的厚度为5. 5mm，确保工作60分钟，皮肤外侧温度不超过47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟情况下，基于反问题的基本理论，在热传导模型基础上，建立优化模型，再利用遗传算法，求出第Ⅱ层的厚度在区间[5，25]上达到要求。最后，在环境温度为80℃，确保工作30分钟，皮肤外侧温度不超过47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟的前提下，利用相同模型求出第Ⅱ层的厚度在[11，12.8]和第Ⅳ层的厚度在[3.5，6]区间上达到要求，通过构造初始函数，得到了与真实数据吻合的结论。

关键词：一阶热传导方程;一阶耦合热传导对流方程;有限差分方法;遗传算法

1引言

在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服裝以避免灼伤。因此，本文以专用服装的设计为目的，构建数学模型，以较低成本研发出合格的服装，这对保护工作人员的生命安全有着十分重要的意义。

2 问题重述（略）

3 模型假设

1）热传递垂直于皮肤方向进行，故可视为一维的;

2）服装材料只考虑传热方式，第Ⅳ层为热传导和空气的对流两种方式;不考虑湿传递，即忽略水汽、汗液的影响;

3）热传导热传递到织物的过程中是均匀的，且热防护材料没有发生溶解;

4）专业服装材料内部无水分，各层材料之间没有空气层，而且是均匀各向同性的，即考虑成一根均匀同性杆的热传导。

4 模型的建立与求解

4.1 热传导模型

在固定的环境温度、时间、已知Ⅱ、Ⅳ层的厚度等情况下，该过程类似一根均匀同性杆的热传导[1]。因此，可将其温度分布简化为图1所示。

热量守恒定律可表示为

温度变化吸收的热量一通过边界流入的热十热源放出的热量，根据傅里叶热传导定律有[2]

其中热传导系数k假设是常量，热量公式为

Q= cmu

（2）

取材料内任一点处垂直于皮肤方向的微元线段L，微元上t1，t2时刻各点温度分别表示为u（x，t1），u（x，t2），则L内温度变化的热量Q满足

4.2热传导模型的求解

首先由题设，可得出定解条件和初值条件分别为

u（0，0）=ua

u（x，0）=φ（x）

（10）其中φ（x）是连续函数，但该函数目前很难估计。为解决问题，我们假设所建立的偏微分方程的解一定存在。

定理（解的存在性）[3]若（φ（x）连续，则存在常数M>0和A>0使

u（x，0）=φ（x）

（11）成立，则方程（8）满足初值条件的解存在。

由解的存在定理，我们取

|φ（x）|≤MeAr2

（12）

以保证解存在，初步的计算后，得到（8）式解的结果，见图2，同时根据题目中的测量值，给出温度变化情况，见图3。

由图可得，曲线的凸性是相反的。为改变凸性，利用曲线关于直线y=x对称及平移的原理[4]，对（4）式求反函数及平移，得

基于文献中的有限差分法[5]，以及附件中的数据，适当选取模型中的参数（见表1）。

4.3耦合热传导对流模型

由于第Ⅲ层与皮肤之间存在气体，故第Ⅳ层在原本的热传导方程上，增加对流的情况，建立耦合热传导对流模型

对于第Ⅳ层，由参考文献[6]，当厚度不超过6.4mm时，对流形式的热传递影响是很小的，因此，忽略对流的影响，利用MATLAB求解得到了第Ⅳ层温度分布，如图6。

4.5优化模型

当环境温度为65℃，Ⅳ层厚度为5. 5mm时，需确定第Ⅱ层最优厚度，确保工作60分钟，假人皮肤不超过47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟。作为热传导的反问题，由于反问题具有非线性、不适定性等特点，使反问题的求解比正问题复杂得多[7]。在反问题中，将材料的边界条件或物性参数作为优化变量，把正问题得到的计算值作为目标函数求极值。因此，我们将反问题的目标函数设计为热传导模型（16），第Ⅱ层材料的厚度为极值点。于是，目标函数为

minu（x，t）

（17）

约束条件为：

1）当时间t为0≤t≤55时，温度应满足

u（x，t）≤44

（18）

2）当时间f为0

u（x，t）≤47

（19）

从而可建立优化模型

minu（x，t）

（20）

根据（21）式，可确定极小值点，即第Ⅱ层的厚度。

当环境温度为80℃，确定第Ⅱ层和第Ⅲ层的最优厚度，确保工作30分钟，假人皮肤外侧温度不超过47℃，超过44的时间不超过5分钟，增加了一个变量，可以用与（21）式相似的方法建立模型并求解。

同理，在新的约束条件

4.6优化模型求解

根据下文给出遗传算法步骤进行求解[8]。

Stepl确定每个反演参数的定义域，即搜索区域。

u≤44，0≤t<55

（24）

u≤47，55≤t≤60

（25）

Step2确定遗传算法的相关参数。

Step3利用迭代生成的值修改有限差分法子函数中的参数，并对之进行求解，获得相应的温度场。

Step4将计算值带入函数中，如果满足收敛准则，则迭代结束;否则更新种群并返回第三步。

各层模型中参数的取值见表2。

当第Ⅱ层的最优厚度x∈[5，25]时，两个临界点处的最优解温度分布见图7。 同时，当第Ⅱ层的最优厚度x∈[11，12.8]，第Ⅳ层的最优厚度为x∈[3.6，6]，即满足环境温度为80℃，工作时间为30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟，最优点处的温度分布，见图8。

5 模型评价

本文利用傅里叶热传导定律建立数学模型，研究物体的热量变化，通过热量守恒定律，建立关于温度对时间与厚度的偏微分方程，从而提高了真实可靠性;运用遗传算法，得到了较准确的最优解;通过MATLAB对所求解析式方程进行处理，得到所需要的图形走势，使结果更加的具有说服力与真实性。缺点是没有考虑物体在热传导的时候，热量对其它物体之间进行的热交换，并且在建立模型的时候也仅仅在平面的角度上考虑问题。

（指导老师：马志霞）

参考文献

[1]陈金静，耐高低温柔性多层隔热材料结构与隔热性表征，东华大学博士学位论文，2010年。

[2]俞昌铭，热传导及其数值分析[M]，北京：清华大学出版社，1981年。

[3]赵镇南，传热学（第二版）[M]，北京：高等教育出版社，2008年。

[4]俞昌铭，传热学[Ml.北京：高等教育出版社，1984。

[5] Gao.Z.，X.Fa，and L Bian. ，An Analytical Solu-tion to One Dimensional Thermal ConductionConvection in Soil，Soil Science， 2003.

[6]陈祖墀，偏微分方程（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2009年。

[7]史策，熱传导方程有限差分法的MATLAB实现，咸阳师范学院学报，2009年，Vol. 24，No.4，P27-29。

[8]潘斌，热防护服装热传递数学建模及参数决定么问题，浙江理工大学硕士学位论文，2016年。