矩形波导管中的TE11模电磁波及管壁电流

赵春然 朱孟正 公丕锋 张金锋

摘 要：给出矩形波导管中电磁波的电场和磁场各分量表达式，并分析管内传输的电磁波的特性，重点讨论管中仅传输TE11模波的情况.采用数值计算的方式，描绘对应的场结构以及管壁上的面电流、磁场以及电场分布.

关键词：电磁波;波导;面电流密度

[中图分类号]O451    [文献标志码]A

Exploring TE11 Mode Electromagnetic Wave in aRectangular Waveguide and Wall-current

ZHAO Chunran， ZHU Mengzheng， GONG Pifeng， ZHANG Jinfeng

（School of Physics and Electronic Information，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，China）

Abstract：The electric field and magnetic field component expressions of the electromagnetic waves in the rectangular waveguide are given. The characteristics of the electromagnetic waves transmitted in the waveguide are analyzed. This paper focuses on the transmission of only the TE11 mode in the waveguide， using numerical calculations to depict the corresponding field structure and the wall-current， magnetic field and electric field distribution on the tube wall of waveguide by numerical calculation.

Key words：electromagnetic waves; waveguide; surface current density

在低頻或直流电传输时，通常采用双线传输.随着传输电流频率的提高，采用双线就会出现以下缺点：双线会把所传输的电磁能向周围空间辐射，具有天线的作用;双线传输的导体裸露在外，它本身既相当于一个辐射天线，又相当于一个接收天线，会接收空间的杂散电磁波;双线的分布电容不能忽略，以致会出现部分短路.为了克服双线的上述缺点，当需要传输较高频率的电磁能时，利用导体对电磁波的屏蔽作用，把一根导线展成柱面，使它把另一根导线包围起来.由于柱面导体的屏蔽，较高频率的电磁波不会向四周辐射，外界的干扰信号也不会进到中芯线.当频率更高时，导体中电磁波的穿透深度减小，电流通过的有效截面积减小，因而电阻增大，这一点对同轴线内导体的影响尤为突出，为了克服上述缺点，人们逐渐抛弃了内导体，只有一个空心导体管的波导诞生了.

1 矩形波导中电磁波

理想导体构成的波导管，其矩形横截面的两边长为a和b，如图1所示.电场的空间分量可令为：

E（x）=E（x，y，z）=E（x，y）rikzz.（1）

对于一定频率的电磁波，场矢量的空间分量应满足：

SymbolQC@

2E+k2E=0B=-iωSymbolQC@

×ESymbolQC@

·E=0 .（2）

将波导管壁看作由理想导体构成，则根据边界条件有：n×E（x）=0，（3）

即，在导体表面附近的电场线与界面正交.[6]由方程组（2）中的第一个方程解的结果还必须满足第三个方程，以及条件式，得另一个边界条件：

En（x）n=0.（4）

利用边界条件（3）（4）式，从而对（2）式作出限定，矩形波导管中电场的各分量，并考到是时谐变化的：

Ex=E0xcoskxxsinkyyei（kzz-ω t），

Ey=E0ysinkxxcoskyyei（kzz-ω t），（5）

Ez=kxE0x+kyE0yikzsinkxxsinkyei（kzz-ω，t）.

其中，kx=mπ/a，ky=nπ/b，m，n=0，1，2，….M，n分别代表a边、b边所含的半波数目.由方程组（2）的第二个方程及（5）式得磁场的表达形式：

Bx=-1ω k[kxkyE0x+（ky2+kz2）E0y]sinkxxcoskyyei（kzz-ω t），

By=1ω k[（kx2+kz2）E0x+kxkyE0y]coskxxsinkyyei（kzz-ω t），（6）

Bz=-iω（kxE0y-kyE0x）coskxxcoskyyei（kzz-ω t）.

从描述波导管内电磁场量的（5）式和（6）式可以看出：

（1）电磁波沿波导管长度方向上为行波，在矩形波导管的横截面上的两个方向上为驻波.

（2）管中电场和磁场不可能同时为横波.假设管中电场和磁场同时为横波，即Ez=0，Bz=0，则得到：E0x=0，E0y=0.这个结果说明管中无电磁波存在，显然矛盾！若管中Ez=0，则称为横电波（TEmn）;若管中Bz=0，则称为横磁波（TMmn）.

（3）波导管中存在截止频率，对于波矢量有：

kz2=k2-（kx2+ky2）=ω2μ ε-[（mπa）2+（nπb）2].（7）

若kz2<0，则kz=i κ，相位因子eikzz=e-κ z，不能稳定传播，电磁波能在波导管中传播应有：kz2≥0，极限情况就是该式取等号，故

ωc，mn=πμε（ma）2+（nb）2（8）

称为截止频率，相应的截止（最大）波长：

λc，mn=vT=1μ ε2πωc，mn .（9）

（4）笔者注意到，（9）式中1/μ ε并非是波导管中电磁波的相速度.由传播因子ri（kzz-ω t）很容易得到导行波的相速度，其等相面方程为kzz-ω t=常数，由此得相速度：

vp=dxdt=ωkz>1μ ε .（10）

若波导管是真空，则vp>c，按相对论，信号的传播速度绝不能超过光速c，这意味着相速度不能承当信号的传播速度.事实上能够很容易看出，相速度不能从实验上测定，因此它缺乏任何直接物理意义.

（5）波导波长λg是指某一频率的导行波等相面在一个周期内沿轴向移动的距离.

λg=vpT=2πkz>2πk .（11）

而k=ωμε为波源的波数，则波源的波长λ=2π/k， λ代表频率为ω的波源在无限均匀介质的自由空间中传播时的波长，所以波长λ与介质的性质有关.

（6）波导管中导行电磁波的群速度.实际中输入的波不可能是完全单色的，其频率总有些微小差别，因此，不同频率的波列叠加形成波群（波包），波群的等振幅面向前传播的速度称为群速度.故此，矩形波导管中电磁波群速度为：

vg=dωdkz=kzωμ ε1μ ε<1μ ε .（12）

由（10）（12）式可以看出，波导管中导行波的相速度vp与群速度vg都和ω有关，这种波称为色散型电磁波.必须指出，导行波的色散是由于波导管壁的边界条件决定的，而光波在透明介质中传播时的色散是由介质的性质引起的，这两种色散物理过程是完全不同的.此外，由（10）和（12）式可得：

vpvg=ωkz·kzωμε=1μ ε .

2 TE11波的场量及其形成的管壁电流

现行绝大多数电动力学[1，3-4]教材涉及这部分内容时，都对TE10波给予了充分的分析，但是对于TE11波的分析少之又少，故此，接下来着重分析矩形波导管中仅存在TE11模时，管内的场结构以及管壁上的面电流分布情况.就TE11模电磁波而言：m=1，n=1，所以：

kx=π/a，ky=π/b.（13）

横电波要求Ez=0，则：

E0x=-aE0y/b.（14）

根据（13）式和（14）式表达的条件，针对TE11波的电场部分和磁场部分的各个分量参照（5）式和（6）式就很易得出.

利用数值模拟的方法探讨TE11型波的场结构.场结构就是用电场线和磁场线表示的电磁场的空间分布，可以描绘出某一特定时刻的场线空间分布图形，随着时间的推移，整个场线图形将沿z轴方向平移.根据TE11波的电场部分和磁场部分的各个分量，且t=0时刻，取电场和磁场的实部进行数值计算.如图2所示，描绘了TE11型波的场结构，电场用浅色加粗带箭头的线段表示，磁场线用黑色带箭头的线段表示，其带箭头线段的长短代表电场或磁场强度的大小.数值计算中，选择波导管的宽边a=2mm，窄边b=1mm，传输的TE11型波的频率就是截止频率，E0y=1，在传播方向上，即z轴上绘制了一个波导波长.图2中浅色加粗的电场线均平行于xOy

平面，参见图1的坐标系，对比文献的结果[2]，TE11型波的场结构显然要比TE10型波的复杂的多.

根据电磁场的边值关系，波导管内表面的管壁的面电流密度：

α=n×H.（15）

在x=0面上，法向矢量n的三个分量很显然可表示为：ny=0，nz=0及nx=1;在x=a面上，ny=0，nz=0及nx=-1;在y=0面上，

nx=0，nz=0及ny=1;在y=b面上，nx=0，nz=0及ny= -1.因此很容易得到公式（16）（17）.

（1）在x=a面上零时刻的管壁电流：

α=-aπE0yμ0ω（1a2+1b2）cosπbysinkzzey-aE0ykzμ0ω bsinπbycoskzzez.（16）

（2）在y=b面上零时刻的管壁电流：

α=aπE0yμ0ω（1a2+1b2）cosπaxsinkzzex+aE0ykzμ0ωsinπaxcoskzzez.（17）

图3 波导管的管壁x=a面上的面图4 波导管的管壁y=b面上的面电流密度、磁场线以及电场分布电流密度、磁场线以及电场分布

利用MATLAB软件数值计算方法描绘图1中靠外侧的两个面——波导管的内壁x=a面和y=b面上的面电流、电场线和磁场线.如图3和图4所示，数值计算时所需参数同前面图2提到的一样.浅色加粗带箭头的线段表示面电流密度矢量，相对深颜色带箭头的线段表示磁场强度矢量，线段的长短代表面电流密度或磁场强度的大小;在波导管的内壁x=a面或y=b面上，电场强度矢

量与这些面是垂直的，图中用小圆点表示电场强度矢量的方向朝外、叉号表示其方向朝里，因数据采样的等间距性要求，图3和图4中所描绘的小圆点和叉号的分布密度并不能说明相应处的电场强度大小.为弥补这一缺陷，用电场强度的等高图来反映电场在各处强弱分布.管壁上面电流密度α与该管壁面附近的磁场方向垂直，但是在图3和图4中的部分部位可能会发现不垂直，这是图像显示的纵横比导致的.在波导管的内壁x=a面的中线上，沿y轴的面电流为零（图3），表明若在窄边中线上开沿z轴的窄缝，将不会对波导管中的电磁场产生大的扰动，而这种窄缝广泛地应用于用探针测量波导管内物理量的技术中;在波导管的内壁y=b面的中线上，沿x轴的面电流为零（图4），表明若在宽边中线上开沿z轴的窄缝，也不会对波导管中的電磁场产生大的扰动.综上所述，虽然TE11型波的场结构要比TE10型波的复杂很多，但是若想采用探针技术来测量波导管内TE11型波的物理量，仍然是可以找到合适的位置在波导管上开“窄缝”.[1]

3 结论

给出矩形波导管中电磁波的电场和磁场各分量表达式，并分析了管内传输的电磁波的特性，最后通过MATLAB软件，采用数值计算的方式，讨论了波导管中只传输TE11型波，对应的场结构以及管壁上的面电流、磁场以及电场分布，发现TE11型波的场结构要比TE10型的复杂的多，从管壁上的面电流分布发现：可以在管壁上找到合适的位置开“窄缝”，用于探针测量波导管内电磁波的场量.

参考文献

[1]郭硕鸿. 电动力学[M]. 北京：高等教育出版社， 2008：131-134.

[2]钱尚武. 电磁学要义[M]. 北京：科学出版社， 2009：71-76.

[3]张民宽. 电动力学[M]. 开封：河南大学出版社， 1990：197-205.

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[5]付斯年， 朱瑞华， 吴春雷， 等. 利用波导管的可调终端活塞及单螺调配器测定微波信号源的波长[J]. 牡丹江师范学院学报：自然科学版， 2014（1）：12-13.

[6]魏仁怀， 朱孟正. 平面电磁波在运动介质界面上折射行为的研究[J]. 牡丹江师范学院学报：自然科学版， 2009（4）：10-12.

编辑：琳莉