浅析数学概念教学设计的解决策略

陈文生

摘  要：数学概念是数学思维的基本形式，是数学基本技能形成与提高的必要条件，作为数学教学不可或缺的一个环节，概念教学关系到学生能否弄清相关的数学知识，正确理解并熟练运用数学知识解决实际问题.在实际教学中，概念教学对例题引入和问题设计的局限性使并没有发挥出来其价值，为此，本文主要对概念教学中例题设计和问题设计的解决策略进行分析.

关键词：概念教学;例题设计;策略

数学概念是数学思维的基本形式，是基本技能形成与提高的必要条件，数学概念具有高度抽象性和概括性的特点，数学概念与它的性质、公式、定理密切连系，比如“对数”这个概念理解不透彻，那么“对数函数”这个概念理解也不可能到位，更谈不上理解“对数函数的性质”;比如“等差数列”这个概念只要能准确理解和熟练掌握，那么等差数列的通项公式与等差数列前n项和公式就能推出和记牢;比如“直线与平面垂直”这个概念如果不能正确理解和掌握，那么“直线与平面垂直的判定定理”就谈不上理解记忆，而只能是死记硬背。

因此概念教学在数学教学中的地位非常突出，不少教师也都非常重视数学概念的教学，并且很多有自己独到的见解和体会.而笔者所教的学生是学前专业的，她们以后所从事的工作多数是幼儿教育工作，针对这种情况，我认为概念教学尤为重要，要摆在更加突出的地位。在这过程中发现，目前概念教学最大的问题并不是如何引人概念，如何剖析概念，如何应用概念;而是有一些教师没有选择恰当的例题与合适的问题设计，没有意识到例题的重要性，仅仅是形象性地、比喻性地给学生解释概念，所以教学效果不好，既不能使学生准确理解概念，也不能使学生正确掌握概念.为此，笔者就概念教学中的例题设计与问题设计环节来谈谈自己的心得体会。

（一）概念引入时强调产生这个概念的问题情境

从无到有，学生必须要有一个契合处，以缓解新的概念对思维产生的“碰撞”。概念的引人意在新旧知识点或数学模型中找到一个结契合点，以实现新知自然衔接、过渡的目的.从学生对知识的认知规律来看，对抽象、概括事物的认识、理解需要一个具体化、形象化的过程.因此，教师在概念的教学过程中，要想方设法借助学生熟悉的或引起兴趣的问题情境选取较多的合适的例题与问题设计。

点滴渗透引出“数列”概念：

情景一、让同学们看运载火箭发射升空倒计时10、9、8、7、6、5、4、3、2、1瞬间激动情景.让学生从中抽象出一列数.

情景二、从古语出发：一尺之棰，日取其半.万世不竭.让学生做数学实验“撕纸尺”。体会古语中的数学含义。

情景三、贴近学生的专业，分小组让学生课前收集必须是带数的儿歌，留作课上分享.然后在课上让学生从儿歌中找出隐藏着数.将它们组合成一列列数。不同的学生会得到不同的一列数。通过上述事例引出数列概念的讲解。

突出数学实验情境引出“椭圆” 概念：

在上“椭圆”这个概念教学时，因为学前专业的学生每人都有一个画板，所以数学教师上课时可以让学生取出事先准备好的一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的和两点上，当绳长大于和兩点间的距离时，用2B铅笔尖在画板上绷紧细线慢慢拖动，这样铅笔就画出一条曲线，教师问：同学们手中画的是什么图形？学生回答：这是椭圆。教师又问：你会画椭圆吗？学生回答：会画。怎样做才能使画的图形是椭圆？从而引出椭圆概念的讲解。在讲解“椭圆”概念时，引导学生理解画板相当于平面，铅笔尖相当于动点，细线绷紧相当于动点到两定点和上的距离之和为定长。

问题设计引出“补集”概念：

观察下面三个集合：U={x|x是学前一系18（1）班的学生}，A={x|x是学前一系18（1）班的男学生}，B={x|x是学前一系18（1）班的女学生}。分析上面三个集合U，A，B的关系，从而引出补集的概念。

创设问题情境和动手做数学实验是概念引人中常用的方式方法，它不仅能够为概念的导入做有效的铺垫，而且还能够引起学生的好奇心和求知欲。也能使学生对概念的理解起到很好的帮助作用。

（二）概念剖析时抓住概念内在含义和本质

引人概念之后，学生虽对其有了基本的印象，但仍处于初步理解的状态，易出现概念的理解不到位现象，特别是数学概念大多抽象性和概括性较强，需要逐字逐句的分析、找出关键词并剖析到位，只有这样才能使学生准确理解和掌握它。

（1）剖析概念中关键词的含义   准确掌握概念

某些关键词能揭示概念的本质，之所以有些学生对少数概念理解不到位，是由于没能抓住关键词。比如说对原始概念的理解便是如此，从而为后继知识的学习埋下隐患，使学习效果大打折扣.因此，教师必须要强调关键词，并通过浅显易懂的方式进行讲解和剖析，确保每一位学生都能真正理解和掌握。

如在“集合”的学习中，要强调“集合”是一个原始概念，是不可能下定义的，因此不能用“叫做”这两个字，只能用描述性的语言表述为：在一定范围内某些确定的、不同的对象的全体能构成一个集合。教师可通过实例：（1）我们班中的每一名学生都是确定的，而且也没有相同的，因此我们班学生的全体能构成一个集合。（2）我们班中的漂亮的女学生是不确定的，因为“漂亮”这个词没有精确的定义，所以我们班漂亮的女学生不能构成一个集合。（3）“hello”中的英文字母的全体”能构成一个集合，因为该集合中的不同英文字母只能是h，e，l，o四个，尽管l这个字母在单词“hello”出现过两次，但也只能在该集合中看成一个。

通过以上实例让学生们深刻理解“集合”这个概念中的“确定的”、“不同的”两个关键词的准确含义。

如在“数列”的学习中，数列的定义为：按一定次序排列的一列数.看似简单的一句话，学生理解起来却并不乐观.很多学生对于“一定次序”四个字理解不到位，怎么样才算是‘一定次序’？”教师可以通过书本中一个例子：我国参加6次奥运会获金牌数依次为15，5，16，16，28，32，如果交换其中的数字5和16的位置，还能表达原来的含义吗？

显然不能，通过这个例子的讲解来帮助学生理解“一定次序”的准确含义;“同学们都知道1，3，5，7，…是数列，那么1，3，1，3，1，3，…是否也算是数列呢？ 2，4，6，8，10和10，8，6，4，2是不是属于同一数列？”在学生分组讨论之后，教师强调关键词 “一定次序”的含义，这样学生自然就能得出结论：如果组成两个数列的数是相同的而排列次序是不同的，那么它们就是不同的数列;既然定义中并没有规定数列中的数必须不同，那么同一个数在数列中可以重复出现。

（2）逐层分析，通过归纳现象找出规律，从而抓住概念的内在含义。

数学概念中符号式子具有高度的概括性，教师可以通过对符号式子进行逐层分析来理清概念的内在含义，从而达到抓住概念本质的目的.因此，教师在概念教学的过程中，要注意逐层地对概念进行展开分析整理，一方面深化学生对概念的理解和掌握，另一方面以培养学生思维的周密性、严谨性。

如在“奇函数概念”的学习中，教师可将其从图形与数式两方面进行分解，通過观察图形，发现当自变量取一对相反数时，通过计算得亦取得相反数，可得出它们关于原点对称对称;例如，，…，进一步分析可知图像上的每一点关于原点都有对称点，而每一点都和唯一的一个数对一一对应，也就是它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，用数学式子可高度概括表示为：。同样在“偶函数概念”的学习中，教师可让学生仿照“奇函数概念”的讲解过程进行类比对照理解学习。然后再强调：（1）式子中的与的含义是代表着定义域中的任意一对相反数，即“函数的定义域必须关于原点对称”;（2）“定义域内任一个”是指对定义域内的每一个（3）判断函数奇偶性的第一步是看定义域。通过这样由表及里的剖析、讲解，学生对概念的理解也能够从表层深人到其本质。

如数列与数集的关系的学习，

解决方法：以问题串的形式，逐层深入探究数列与数集的关系.

问题1我们发现数列与我们学过的一个数学概念很像，那是什么？

是数集。

问题2它们一样吗？能总结出二者的区别吗？不妨小组讨论一下.

不一样。数列中的项要求按“一定次序”排列，数列中的项可以重复;数集中元素的排列不要求按次序排列，但数集中的元素不允许重复。

问题3数列不同于数集，最根本的原因是？

数列要求序号和数是一一对应的，即序号和项是一一对应;而数集没有以上要求。

从而又引出数列与函数的关系的学习

解决方法：以问题串的形式.逐层深入探究数列与函数的关系.

问题1函数有三要素，哪三要素？

问题2数列与函数的关系？

数列是特殊的函数：数列可以看成以正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，k }）为定义域的函数，当自变量按从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。

如数列 3，5，7，9，11

它可以看成自变量为的函数，即

（3）注意概念比较、归纳，区分概念的异同。

数学中有些概念之间联系紧密，在表述上也只有微小的差别.不少学生对概念的记忆是机械的，因此常常把一些相似概念搞混淆.为了避免学生犯此类低级错误，教师在概念的教学过程中，要注意相似概念之间的比较，并通过归纳、总结概念之间的异同，来揭示它们之间的联系和区别.

生活用语中的“或”与逻辑用语中的“或”的区别：生活用语中“或”的含义为两者之一，不兼有;而数学的含义为两者至少有一个，可兼有。

命题的否定与否命题的区别：命题“大于1的数是正数”的否定是什么？其否命题是什么？命题的否定：大于1的数不是正数;其否命题：不大于1的数不是正数。命题的否定只否定结论;否命题则既否定条件也否定结论。

（三）概念应用时注重探究质疑

概念的应用是用来检验学生在现实生活中对已掌握的概念运用情况，看看学生能否达到彻底吃透和掌握概念.概念应用阶段是从教师讲授到学生自主探究的过程.从“概念引人”到“概念分析”，教师对学生的知识输人已达到饱和状态，此时教师要将自主权交还给学生，使他们最大限度地发挥自主性，以概念为切人点，对新知进行探索，从而避免学生学习走人“纸上谈兵”的误区。

（1）倡導自主探究、协作交流

自主探究、合作交流是概念应用过程中极其重要的一个环节，随着学生对概念认识的深化，以概念为抓手的数学探究活动对于发散学生的思维、提高他们合作探究的能力具有重要的作用.因此，教师要在应用的过程中给学生创造广阔的自主探究平台，使学生在动手操作、协作交流讨论的过程中对概念有更深层次的认识和理解。

如在学习“数学建模”概念课时，案例为利润最优化模型。

【问题表述】

上海某一个五星级宾馆有1500个客房。经过一段时间的市场调查，客房部经理得到一些数据：如果每间客房定价1600元，住房率为55%;每间客房定价1400元，住房率为65%;每间客房定价1200元，住房率为75%;每间客房定价1000元，住房率为85%。欲使每天收入最高，问每间住房的定价应为多少？

【模型分析】

从材料中你能获得并收集到哪些有用的信息？首先，旅馆的入住率是随着客房定价的增加而降低的;其次，入住率是随着客房定价的增加呈现的是线性递减趋势。

【模型假设】

为了便于建立旅馆的收入模型，特做如下假设：

假设一  再无其他信息时，不妨假设每间客房的最高定价为1600元：

假设二  根据经理提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长：

假设三  设旅馆每间客房定价相等。

【模型建立与求解】

从假设和已知数据中能得出一些有用的东西吗？未知量与已知数据有什么联系？根据题意，设旅馆一天的总收入为y元，而为与1600元相比降低的房价。

由假设二，可得每降低1元房价，住房率增加为【模型讨论】

能用具体数据检验这个结果吗？列举几个定价可以得到如下表所示的总收入：

实际上，1366875元在已知各个定价对应的收入中是最大的，但是不可能实现，因为定价为1350元，收入至少是10的倍数，这是理论与实际的差距。

【建模体会与反思】

用函数的方法研究实际问题能够获得最大利润，能够解决最优化问题，尽管得到的结果可能与实际有出入，但是，它的建模和求解过程已经告诉我们答案了：数学是有用的，数学是可靠的。传统数学应用题的问题明确，条件一般都是充分的，而数学建模的问题一般来自实际，问题中的条件往往是不充分的、开放的或多余的，有时甚至要求学生自己动手去收集数据、处理信息。在建模的过程中作一定的假设是必须的，而传统数学应用题一般不需要假设。数学建模的讨论与验证比传统数学应用题的检验要复杂得多，不仅要验证所得到的模型解是否符合，而且要考察它们与假设是否矛盾，与实际是否吻合等等。

通过小组成员之间的合作与探讨从而加深对“数学建模”含义的理解。

（2）辨析质疑

正如亚里士多德所说：“思维从疑问和惊奇开始.”反思、质疑是数学学习深化的重要途径.在质疑的过程中，学生往往能够在细小的“漏洞”中，发现数学问题，窥见具有一般性的数学规律.因此，教师在概念的应用过程中要鼓励学生敢于质疑、敢于发问，以培养他们的思辨能力和质疑精神。

如在学习“函数”的概念之后，不少学生虽然对“定义域”印象深刻，但在实际做题目的运用中往往抛之脑后，忽略了定义域优先的原则.可以通过下面例题进一步加深对定义域优先的理解。

例如：判断下列哪些函数与是同一个函数你？说明理由

当做上述例题出现错误时，教师不必马上点评，可以让学生慢慢争论理会，使同学们深刻理解函数概念中定义域和对应法则的重要性。

除了上述解决方法外，概念教学中的例题设计还有很多应当值得注意的地方，笔者也不可能一一穷尽，谨以此文来达到抛砖引玉吧！总之，关键都在于要以学生为主体，尊重学生学习的实际，体现出数学学习的本质。