关于两个优美不等式的思考

郭全太

文献[1]用点到直线的距离公式的几何意义巧妙证明了5个代数不等式，受其启示，笔者对文中的例2，例3，亦是下文中的问题1，问题2，从方法论方面做了些思考，现写出来，仅供参考。

问题1：已知，且，求证：。

证明：因为，所以点在直线上，则点与点的距离，

因此.

命题1：已知且，求证

證明：因为，所以点的坐标满足关系式，由柯西不等式知，点与点的距离

因此。

特别的，取时便得问题1。

问题2  设且，

求证：。

证明：有得，因此在直线上，所以点与点的距离的距离

于是

。

命题2   已知且且，求證。

证明：得，

因此点的坐标满足关系式

由柯西不等式知，点与点的距离

于是。

特别的，取时便得问题2。

取時，则。

若用替代命题2左端的，可得

命题3  已知且，求证。

当时，即为常见的不等式;

当时，则。

参考文献

[1]  仝秀旺，利用点到直线距离的几何意义巧妙证明不等式[J]数学教学2019[4]：15-16。