切线长定理在高中数学中的应用

【摘 要】切线长定理在高中数学中，与“直线与圆”这块内容紧密相连，经常考查，但很多学生在遇到这种题型的时候，都有点束手无策。而切线长定理每次考到的考点都是类似的，本质上都是从圆外一点向圆引切线，只是题目条件会发生变化，点和圆是否含参数会让整个题的难度不一样。本文先将切线长定理相关考点进行总结，再根据点和圆是否含参数，将题型分为以下三类：①定点定圆型;②动点定圆型;③定点动圆型。希望通过总结能帮助高中生增强解决切线长定理相关问题的信心。

【关键词】切线长定理;定点定圆型;动点定圆型;定点动圆型

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）28-0038-03

高中数学中，切线长定理和“直线与圆”这块内容紧密相连，经常考查，但很多学生在遇到这种题型的时候，都有点束手无策，针对这种情况，笔者将自身经验进行总结，希望能为广大学生解除困惑，增强自信。

1   切线长定理在高中数学应用中的有关考点总结

如图1，过圆外一点P向该圆M引两条切线，切点分别为A、B，则;

MP平分∠APB;

MP垂直平分AB;

MA⊥AP，MB⊥BP;

S四边形AMBP=2S△AMP;

S四边形AMBP=∣AB∣·∣PM∣;

M，A，P，B四点共圆，直径为MP。

证明：（1）∵PA与圆相切于A，∴PA⊥MA，在Rt△PMA中，由勾股定理得，由切线长定理可知，，因此成立;

由切线长定理得MP平分∠APB;

由对称性可证（略）;

相切可得（略）;

由对称性可证（略）

∵MP⊥AB，

S四边形AMBP=∣AB∣·∣PM∣

四边形MAPB对角互补，所以M，A，P，B四点共圆，∵∠MBP=90°，∴直径为MP。

2   切线长定理题型总结

在具体的考题中，这种题型的难度又不尽相同，有些属于基础题，有些属于中档甚至压轴题，主要体现在是否含参数上，根据笔者经验，把切线长定理相关题型分成以下三个类型。

类型一：定点定圆型

例1 过点向圆作两条切线，切点分别为A、B，线段AB的中点为Q，坐标原点为O，如图2.

求切线PA或PB的长度;

求圆PAOB的方程;

求直线AB的方程;

求四边形PAOB的面积;

求PQ的长度;

实际上，以上三种题型本质上都是一样的，方法都是类似的，区别只是在于P点和圆是否含参，类型一P点和圆都不含参，难度较低;类型二是P点含参;类型三是圆含参，难度就提高了，主要体现在表达式含参数，显得更复杂了。但是，如果让学生了解考點和题型，并采用化归的数学思想方法，把题转化到类似的模型上去，那学生就能比较容易的解决出来，那么学生就不会再畏惧这样的题，从而增强学习数学的自信。

【作者简介】

谭莉，研究生毕业于北京师范大学教育学部课程与教学论（数学专业），本科毕业于北京师范大学数学科学学院数学与应用数学专业，毕业后任成都市新都一中高中数学教师，担任班主任工作。