浅析乘法和加法定理在遗传计算中的运用

王元佩

在高中生物遗传学的教学中，我们感到有关概率计算问题历来是学生最头痛的问题之一，提别是农村中学的高中学生感触最深。而且概率知识与高中数学不同步，学生在概率方面的理解不是很到位，乘法定理和加法定理理解更是囫囵吞枣，本文就高中遗传学教学中应用乘法和加法定理简化解题思路、加快解题速度、提高准确率做以简要分析，达到抛砖引玉的目的。首先得搞清楚什么叫概率，概率则就是在一次试验中某一事件发生的可能性大小。

一、概率计算的两个定理

1、乘法定理：当两个事件互不影响，这样两个独立事件同时或相继出现时的概率是它们各自出现概率的乘积。例如一枚硬币抛出后落地，正面和反面都有可能同时朝上，无论那面朝上的概率都是1/2，若三枚硬币同时抛出，问三次正面都朝上概率是多大？解析：因为一枚硬币正面朝上或朝下不影响另一枚硬币正面朝上或朝下，是两个独立事件，则符合乘法定理。因为一枚硬币正面朝上的概率是1/2，三枚硬币都是正面朝上的概率就是1/2×1/2×1/2=1/8。

2、加法定理：当一个事件出现时，另一个事件就被排除，这样的事件叫互斥事件，互斥事件出现的概率是它们各自概率之和，例如：女性生育每胎一个，不是男孩就是女孩，属互斥事件，那么生一个男孩和女孩的概率为1/2+1/2=1。再如两个杂合体（Aa）相互交配，后代纯合体的概率多大？已知两个杂合体Aa的后代有1/4AA、1/2 Aa、1/4aa，而且都属互斥事件，即Aa的后代不是AA、就是Aa或aa，所以后代纯合体的概率为1/4+1/4=1/2。

二、概率的性质

概率的最大值为1（或100%），最小值为0，也就是说任何事件发生的概率介于0到1之间。必然事件的概率等于1，不可能事件的概率等于0。概率计算的范围即指那些事件（如遗传性状、基因型，它们之间应属互斥事件）发生的可能性绝对在0到1之间。

三、用乘法和加法定理分析子代某一基因型的概率

例1：基因型为DdYyRr和DdyyRr的豌豆杂交，求其子一代中基因型与亲本相同的概率是多少？

解析：解这道题时，如果采用“棋盘格”法：（1）列出两个亲本的配子类型（8种和4种），（2）进行配子间的组合（8×4=32种结合方式），（3）在众多的组合类型中寻找与亲本基因型相同的个体数，（4）计算概率。此种方法不仅费时费力而且容易出错，如果采用分枝法则更加复杂。相反如果我们引导学生运用乘法和加法定理进行分析，则能简化过程，结果也更加可靠。具体过程如下：（1）写出各对基因的分离情况：（1/4DD：1/2Dd：1/4dd）（1/2Yy：1/2yy）（1/4RR：1/2Rr：1/4rr）;（2）分别算出与亲本相同的概率：（乘法定理）与第一个亲本相同的概率=1/2Dd×1/2Yy×1/2Rr=1/8 DdYyRr，与第一个亲本相同的概率=1/2Dd×1/2yy×1/2Rr=1/8 DdyyRr;（3）相加得出子一代基因型与两个亲本相同的概率为1/4（加法定理）。

用乘法和加法定理分析子代中某种表现型的概率：

例2：基因型分别为aaBbCCDd和AABbCCdd的两种豌豆杂交，其子代中纯合体的比例为：（  ）

A、1/4       B、1/8       C、1/16         D、0

解析：如果采用棋盘格法和分枝法则更加复杂。根据基因的分离规律和自由组合规律可知，基因型aaBbCCDd和AABbCCdd杂交，其后代中的纯合体的比例我们应一对一对基因来计算，符合乘法定理，最后将它们相乘，得出子代纯合体的比例。aa与AA这对基因的后代全是杂合体，纯合体的概率为0。Bb与Bb这对基因的后代有1/4BB、2/4Bb、1/4bb，CC与CC这对基因的后代CC的概率为100%，Dd与dd这对基因的后代1/2Dd、1/2dd，则纯合体的概率为：0×1/2×1×1/2=0。选D。

例3：某生物个体减数分裂产生的配子种类及比例是Ab：aB：AB：ab为3：2：3：2。若这对生物进行自交，则其后代出现纯合子的概率是（  ）

A、6.25%        B、13%         C、25%           D、26%

例4：基因型为aaBbccDdEEFf（各对基因独立遗传）的个体，经减数分裂产生基因型为aBcDEf配子的概率为多少？

解析：此道试题应该将各对基因单独分析，进行研究。纯合子（例如aa）产生配子的类型只有一种，杂合子Bb产生两种配子（1/2B，1/2b），运用乘法定理进行计算，该基因型个体经减数分裂产生基因型为aBcDEf配子的概率为1×1/2×1×1/2×1×1/2=1/8。

例5：基因型为AaBbCcDd的个体产生含有两个显性基因的配子有多少种？

解析：基因型为AaBbCcDd的个体可以产生16种配子，运用加法定理进行计算，含有两个显性基因的配子有6種。

用乘法和加法定理进行遗传病发病概率计算

例6：一个正常的女人与一个并指的男人结婚，他们生育了一个白化病且手指正常的孩子，如果再生一个孩子：（1）只出现患并指的概率是多少？（2）只患白化病的概率是多少？（3）既患白化病又患并指的男孩的概率是多少？（4）只患一种病的概率是多少？（5）患病的概率是多少？（白化相关基因用A、a表示，并指相关基因用B、b表示）

解析：根据以前所学知识可知，白化病为常染色体隐性遗传，并指为常染色体显性遗传;第1个孩子的基因型是aabb，则该夫妇基因型为：夫AaBb，妇Aabb;依据该夫妇基因型可知，孩子中并指的概率为1/2（非并指的概率为1/2），白化病的概率为1/4（非白化病的概率为3/4），则：（1）再生一个只患并指的概率是：并指率-并指又白化率=1/2-1/2×1/4=3/8;（2）只患白化病的概率是：白化率-白化又并指率=1/4-1/2×1/4=1/8;（3）既患白化病又患并指的男孩的概率是：男孩出生率×白化率×并指率=1/2×1/4×1/2=1/16;（4）后代只患一种病的概率是：并指×非白化率+白化率×非并指率=1/2×3/4+1/4×=1/2;（5）后代患病的概率为：1-全正常（非并指、非白化）=1-1/2×3/4=5/8。

遗传概率的计算问题其题型在高中生物学中不仅是一个非常重要的题型而且是一个较为复杂多变的题型，如果运用乘法和加法定理进行计算则其过程简便明了、条理清晰、结果准确。