浅谈线性微分方程的若干解法

汪庆康

摘要：文章介绍了线性微分方程的一些基本解法，针对不同类型的微分方程的解法，体现了常见微分方程的一般求解规律，从而寻找最优求解法.

关键词：线性微分方程;常数变易;积分因子;比较系数;幂级数

中图分类号：O1-O29  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2019）06-0003-03

1 引言

常微分方程不仅在数学科学领域起着重要作用，而且在其他领域也有着重要价值，许多情况下将实际问题转化成微分方程进行求解，为我们解决问题带来很大的方便，所以研究常微分方程对社会发展有重要意义和价值.

文章针对性的研究了不同类型线性微分方程的解题方法.首先，从解一阶线性微分方程开始入手，叙述了一阶线性微分方程的简单解法，变量分离法、常数变易法和积分因子法;其次，分类探讨了求解高阶线性微分方程的方法，包括将解一阶方程的常数变易法拓展到解高阶方程，另外，给出了几种求解高阶线性微分方程特有的方法.

2 一阶线性微分方程的解法

一阶线性微分方程是微分方程的基礎，由以往的认知水平可以知道学习一个新的方程，必然要学习它的解法，只有掌握了基本知识，才可能学习好微分方程的解法，并且由一阶微分方程的解法向高阶微分方程解法的过度符合学生的思维逻辑，本节重点列举了一阶线性微分方程的几种简单解法，变量分离法，常数变易法和积分因子法.

2.1 变量分离法

由（1.2）分离变量得=P（x）dx，两边同时积分有ln|y|= p（x）dx+c1，进一步得y=ce;显然y=0是原方程的一个特解.故得原方程的通解为y=ce（c为任意常数）.

2.2 常数变易法

2.3 积分因子法

多数情形下积分因子求解过程是比较复杂的，由于本段讨论的是线性微分方程的积分因子，所以令ψ（x）=，由文献[2]可知积分因子u（x，y）只与x有关，这种情形只是求解积分因子的一个特例，从而由文献[2]可以求出积分因子u=e.

利用积分因子法求解方程时，不需要知道（2.1）及其对应齐次方程的通解和特解之间的关系和性质，而使用常数变易法求解方程，可能会有不能理解其中替换思想的，于是按上述步骤循序渐进地逐步求解，即使我们进一步理解线性微分方程的求解步骤，也使得我们在求解线性微分方程过程中有更多的选择性，从而达到一题多解的效果，同时也使得我们更容易理解常数变易法，但是此方法涉及恰当方程的概念，所以总体内容相对较难，另外，在求解积分因子的过程中技巧性较高，难度较大[3].

4 结论

在已有知识逻辑的基础上，讨论了线性微分方程的解法，主要是对已学知识的归纳和总结，有利于帮助我们理解微分方程相关内容，构建完整的微分方程知识体系，提高我们的数学素养.

解线性微分方程的过程是复杂多变的，需要选取适合自己认知水平的解题方法，掌握线性微分方程解的结构，特别需要考虑线性微分方程的特解问题.总之，通过对线性微分方程解法的探析，使我对微分方程有了更深层次的认识.

参考文献：

〔1〕李秀荣，宋国华.线性微分方程的解法探析[J].北京建筑工程学院学报，2006（9）：51-53.

〔2〕王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程第三版[M].高等教育出版社，2006.

〔3〕魏明彬.一阶线性微分方程的几种解法和思路分析[J].成都师范学院学报，2014（7）：122-124.

〔4〕高仕学.浅谈二阶线性常系数微分方程的解法[J].中国校外教育中旬刊，2013（2）：57-57.

〔5〕高巧琴.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及教学[J].吕梁高等专科学校学报，2009（3）：6-8.

〔6〕郭冰怡.二阶常系数线性非齐次微分方程的解法[J].教育理论研究，2016（4）：17-17.

〔7〕塞蒙斯GF.微分方程.张理京译[M].北京：人民教育出版社，1981.

〔8〕凯哥.高阶常系数齐次微分方程的解法[J].研究与开发，2016（2）：26-28.

〔9〕丁同仁，李承治.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1985.