利用换元法解决高中数学问题

朱琳

摘要：换元法是高中数学解题中经常应用的方法，适当的使用换元法能够简化计算过程，突破解题思路，加快解题速度。在高中数学中换元法是高考常考的思想方法，学生应当在老师的帮助指导下对解题思路进行演绎概括，使得解题思路明朗清晰。文中主要针对高中数学学习中换元法的应用进行分析，以寻求解题途径，提高解题速度。

关键词：换元法  高中数学  应用

换元法是解决高中数学问题的一种常用方法。使用“换元”可以化繁为简，化抽象为具体，化陌生为熟悉，化难为易，从而顺利解决问题。

一、换元法的概念

换元法，又称辅助元素法、变量代换法，即把某个式子看成一个整体，用一个变量去替代它，使得代换后的表达式有利于问题解决的数学思想方法。

换元法的本质就是在研究和处理相关数学问题时采用等价替换的手段将问题简化，进而得解决问题的一种方法。常常是将复杂的问题通过换元转化为简单的问题，将复杂的问题通过换元变换转化为容易求解的问题，将未知的问题通过换元转化成会解决的问题，换元法的一般步骤：

换元

求解

回代

检验

二、常见的换元方法

换元法类型较多，下面探讨高中数学解题中常用的换元法。

三、三角换元法

代数问题或者几何问题作三角代换，从而变成三角问题，再运用三角函数的公式，性质等处理相关问题。

例1.已知，求的最大值。分析：该题没有这个条件，因而使用重要不等式难以突破，但是注意到，利用三角换元，则解题思路立现。

解：设，则

的最大值为5。

（2）根式换元法。在含根式的复合函数中，将题中遇到的根式作为一个整体，换元后成为熟悉的一元二次函数来解决问题，最常见的情况是形如的求值域的问题，可设，转化为关于t的二次函数解决问题。

例2.已知，求的取值范围.

分析：审视函数的结构及其特征，给出了函数的值域，当增大时，减少，函数的增减难以判断，这时将看成t，进行换元，可化为二次函数在给定区间上的值域问题。

解：因为，所以，所以，令，，则 ，由于函数图像的开口是向下且对称轴为，

所以在定义域内为增函数，所以y最小值为，最大值为。

（3）整体换元法。从整体上去认识问题、思考问题，常常能化难为易、化抽象变具体，同时又能培养学生数学素养。

例3.求函数的值域.

分析：观察函数，发现，，这是我们就发现都含有，可以將其看成一个整体t。

解：，，

设，则

则y的值域为。

（4）倒数换元法。若已知条件能转化为两个式子的乘积为1，则设这两个式子分别为t，进行换元，

往往能起到降元，转化变为一元问题求解。

例4.已知，求最小值.

解：由可知，，令 ，，可得，，

将代入得，，则最小值为

换元法这个数学思想方法渗透在高中数学的方方面面，它有着简便运算，转化模式，化解题目的复杂条件等用处，当然在解题过程中要多方面通盘考虑，一道数学题目的较完美的解答需要渗透多种思想方法，可能换元法只是一个敲门砖也可能是一个踏板，总之在解答的过程中善于换元，勇于实践，勤于反思，才能使解题水平有大幅提高。